Преобразование тригонометрических выражений: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 1.11.

Условие

Докажите тождество \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}

{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1} = \frac{2}{3}.

Доказательство

Для доказательства преобразуем выражение \sin^4 \alpha +

\cos^4 \alpha с помощью формулы (1.3). Прибавим к этому выражению и вычтем из него 2 \sin^2 \alpha\cos^2 \alpha . Тогда \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha= \left(\sin^2 \alpha+\cos^2

\alpha \right)^2-2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha, то есть мы выделили в нем полный квадрат. Учитывая, что в знаменателе \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha=\left(\sin^2

\alpha\right)^3 +\left( \cos^2 \alpha\right)^3 , воспользуемся формулой для суммы кубов и применим приведенное выше преобразование: \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4

\alpha - 1} {\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1}

=\frac{(\sin^2

\alpha+\cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha

\cos^2 \alpha - 1}

{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha + \cos^4

\alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha )- 1}=

=\frac{1-2\sin^2

\alpha \cos^2 \alpha -1}{1 \cdot((\sin^2 \alpha + \cos^2

\alpha)^2-3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 1} =\frac{1-2\sin^2 \alpha

\cos^2 \alpha -1}{1-3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1}=\frac{2}{3}. Ответ ч.т.д.

Задача 1.12.

Условие

Докажите тождество 4\left(\sin^4 x + \cos^4 x \right) - 4\left(\sin^6 x + \cos^6 x

\right) - 1=- \cos^2 2x.

Доказательство

Преобразуем левую часть, используя формулу суммы кубов и дополнение суммы четвертых степеней до полного квадрата: 4\left(\sin^4 x + \cos^4 x \right) - 4\left(\sin^6 x + \cos^6 x

\right) - 1= = 4\left((\sin^4 x + \cos^4 x +2\sin^2 x \cos^2 x)-2\sin^2 x \cos^2 x \right) - - 4\left(\sin^2 x + \cos^2 x

\right)\left(\sin^4 x + \cos^4 x -\sin^2 x \cos^2 x \right) - 1= =4((\sin^2 x + \cos^2 x

)^2-2\sin^2 x \cos^2 x)-4((\sin^2 x + \cos^2 x

)^2-3\sin^2 x \cos^2 x)-1= =4(1-2\sin^2 x \cos^2 x)-4(1-3\sin^2 x \cos^2 x)-1=\sin^2 2x-1=-\cos^2 2x.

Для решения задач часто требуется знание оценок какой-либо величины. Докажем несколько тригонометрических неравенств.

Ответ ч.т.д.

Пример 1.13.

Условие

Докажите неравенство \sin^ 4 \alpha+\cos^ 4\alpha \geqslant 0,5.

Доказательство

Преобразуем выражение, выделяя полный квадрат: \sin^ 4 \alpha+\cos^ 4

\alpha=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha

\right)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1- \frac{\sin^2 {2\alpha}}{2}. Так как 0\leqslant \sin^2 {2\alpha}\leqslant 1 , то полученное выражение не меньше \frac{1}{2} , что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачи на вычисление тригонометрических функций <<нетабличных>> углов. Иногда удается найти их, пользуясь различными тригонометрическими формулами, чаще всего для суммы и разности углов.

Ответ ч.т.д.

Пример 1.14.

Условие

Вычислите tg {105^\circ} .

Решение

Используя формулы приведения, получим tg{105^\circ}=tg\left(90^\circ+15^\circ\right)=-ctg {15^\circ}. Далее учтем, что 15^\circ=45^\circ-30^\circ и применим формулу котангенса разности двух углов: ctg{15^\circ}=ctg \left(45^\circ-30^\circ \right)=

\frac{ctg{45^\circ}ctg{30^\circ}+1}{ctg{30^\circ}-ctg{45^\circ}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}. Полученное выражение можно преобразовать к более простому виду: \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{2}=\sqrt{3}+2.

Ответ - \left( \sqrt{3}+2 \right) .

Задача 1.15.

Условие

Вычислите \cos 15^\circ .

Решение

\cos 15^\circ= \cos (45^\circ- 30^\circ)= =\cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 45^\circ\sin 30^\circ=\frac{\sqrt 2}{2}\frac{\sqrt 3}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}\frac{1}{2}.

Ответ \frac{\sqrt 2}{4} \left( \sqrt 3 + 1 \right) .

Задача 1.16.

Условие

Вычислите \sin^2 {120^\circ}+\sin{210^\circ}.

Решение

\sin^2 {120^\circ}+\sin{210^\circ}=\sin^2 {90^\circ+30^\circ}+\sin{180^\circ+30^\circ}= =\cos^2 30^\circ-\sin 30^\circ=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}.

Ответ \frac{1}{4} .

Задача 1.17.

Условие

Вычислите \sin {135^\circ}-\cos\left(-45^\circ\right)-tg\left(-315^\circ\right).

Решение

\sin {135^\circ}-\cos\left(-45^\circ\right)-tg\left(-315^\circ\right)=\sin(90^\circ+45^\circ)-\cos45^\circ+tg(360^\circ-45^\circ)= \cos 45^\circ-\cos45^\circ-tg 45^\circ=-1.

Ответ -1 .

Часто в задачах необходимо вычислить значение одной тригонометрической функции, если известно значении другой функции. Рассмотрим несколько задач этого типа.

Пример 1.18.

Условие

Вычислите \sin\left( \frac{\pi}{4}-\alpha\right), если \cos\alpha=-0,5 и \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi .

Решение

Воспользуемся формулой синуса разности: \sin\left( \frac{\pi}{4}-\alpha\right)= \sin{\frac{\pi}{4}}\cos \alpha-\cos{\frac{\pi}{4}}\sin \alpha= =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \alpha-\sin \alpha\right). Осталось найти \sin\alpha . Из основного тригонометрического тождества \sin\alpha=\pm \sqrt{1-\cos^2\alpha} . Однако в указанной области изменения области \alpha \sin\alpha\geqslant 0 , поэтому \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-(-0,5)^2}= \frac{\sqrt{3}}{2} , а искомое значение \sin\left( \frac{\pi}{4}-\alpha\right) равно -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} .

Ответ -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} .