Преобразование тригонометрических выражений: Часть 4

Видео

Конспект

Пример 1.19.

Условие

Вычислите \cos\left( \frac{\pi}{6}+\beta\right), если \sin\beta= -\frac{\sqrt{3}}{2} и \frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi .

Решение

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов. \cos\left( \frac{\pi}{6}+\beta\right)=\cos \frac{\pi}{6}\cos \beta-\sin \frac{\pi}{6}\sin \beta. Значение \sin\beta дано в условии, найдем по нему \cos\beta с учетом области изменения \beta : \cos\beta=\sqrt{1-\sin^2 \beta}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}. Отсюда \cos\left( \frac{\pi}{6}+\beta\right)=\frac{\sqrt 3}{2}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)=\frac{\sqrt 3}{2}.

Ответ \frac{\sqrt 3}{2} .

Пример 1.20.

Условие

Пусть \cos \alpha+\cos \beta=0.3\quad \sin \alpha+\sin

\beta=-1.1. Найдите \cos(\alpha-\beta) .

Решение

\left(\cos \alpha+\cos \beta\right)^2=\cos^2 \alpha+2 \cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta=(0,3)^2; \left(\sin \alpha+\sin\beta\right)^2=\sin^2 \alpha+2 \sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta=(-1,1)^2. Сложим эти равенства: \cos^2 \alpha+2 \cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\sin^2 \alpha+2 \sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta=0,09+1,21\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow

2+2\cos(\alpha-\beta)=1,3. Отсюда \cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}\left(\frac{13}{10}-2\right)=\frac{7}{20}.

Ответ \cos(\alpha-\beta)=\frac{7}{20}.