Преобразование тригонометрических выражений: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 1.7.

Условие

Докажите тождество 2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=1.

Доказательство

Воспользуемся формулой: \cos 2\alpha=1- 2\sin^ 2 \alpha , а потом формулой приведения. Тогда имеем: 2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=1-\cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right) =1-\cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{6}+x\right)=1, что и требовалось доказать.

Ответ ч.т.д.

Задача 1.8.

Условие

Докажите тождество \sin^2\left(\frac{\pi}{4} +x\right)-

\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-x\right)- \sin \frac{\pi}{12} \cdot

\cos\left(\frac{\pi}{12}+2x\right)= \sin 2x.

Доказательство

Выразим первые два слагаемых первой части через косинус двойного угла, а последнее слагаемое представим в виде суммы синусов: \sin^2\left(\frac{\pi}{4} +x\right)-

\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-x\right)- \sin \frac{\pi}{12} \cdot

\cos\left(\frac{\pi}{12}+2x\right)= =\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)}{2}-\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)}{2}- -\frac{\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}+2x\right)+\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{12}-2x\right)}{2}= =\frac{\sin 2x+\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)}{2}-\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)}{2}+\frac{\sin 2x}{2}. Нетрудно видеть, что в полученном выражении есть \sin 2x , следовательно для доказательства тождества нужно показать, что \frac{\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)}{2}-\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)}{2}=0. По формулам приведения \frac{\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)}{2}=\frac{1}{2}\sin\left( \frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)}{2} , что и требовалось доказать. Следовательно, левая часть равна \sin 2x , и тождество доказано.

Ответ ч.т.д.

Пример 1.9.

Условие

Докажите тождество \frac{1+\sin 2x}{\sin x+\cos x}- \frac{1-tg^2 \frac{x}{2}}{1+tg^2 \frac{x}{2}}=\sin x.

Доказательство

Легко заметить (если, конечно, помнишь формулы!), что второе слагаемое в правой части есть \cos x , представленный по формуле (1.29). Преобразуя единицу в соответствии с основным тригонометрическим тождеством и применяя формулу синуса двойного угла, имеем \frac{1+\sin 2x}{\sin x+\cos x}-\frac{1-tg^2

\frac{x}{2}}{1+tg^2 \frac{x}{2}}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x

\cos x}{\sin x+\cos x}-\cos x=

=\frac{(\sin x+\cos x)^2}{\sin

x+\cos x}-\cos x=\sin x+\cos x-\cos x=\sin x. Ответ ч.т.д.

Задача 1.10.

Условие

Докажите тождество \left(

\frac{ tg^2\frac{x-\pi}{4}-1}{ tg^2\frac{x-\pi}{4}+1}+\cos

\frac{x}{2}\cdot ctg 4x \right)\sec \frac{9x}{2}=\cosec 4x.

\left(\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha},\quad \cosec \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \right). Доказательство

Воспользуемся формулой \cos \alpha= \frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}} и учтем, что \sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha} . Тогда \left(

\frac{ tg^2\frac{x-\pi}{4}-1}{ tg^2\frac{x-\pi}{4}+1}+\cos

\frac{x}{2}\cdot ctg 4x \right)\sec \frac{9x}{2}= =\left(-\cos\frac{x-\pi}{2}+\cos

\frac{x}{2}\cdot \frac{\cos 4x}{\sin 4x} \right)\cdot \frac{1}{\cos\frac{9x}{2}} = =\left(\frac{-\sin\frac{x}{2}\sin 4x+\cos \frac{x}{2}\cos {4x}}{\sin 4x}\right)\frac{1}{\cos\frac{9x}{2}}=\frac{\cos\frac{9x}{2}}{\sin 4x}\cdot\frac{1}{\cos\frac{9x}{2}}=\cosec 4x.

Ответ ч.т.д.