Решение тригонометрических уравнений и сведение их к квадратным: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 2.13.

Условие

а) Решите уравнение -\sqrt{2}\sin \left(-\frac{5\pi}{2}+x\right)\sin x= \cos x;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ \frac{9\pi}{2}; 6\pi\right] .

Решение

a) Преобразуем уравнение с помощью формулы приведения: -\sqrt 2 \sin\left(-\frac{5\pi}{2}+x\right)\sin x=\cos x\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow -\sqrt 2 \sin\left(-\frac{\pi}{2}+x\right)\sin x=\cos x\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow \sqrt 2 \cos x\sin x=\cos x\Longleftrightarrow\cos x\left(\sin x-\frac{1}{\sqrt 2}\right)=0. Отсюда получаем решения: либо \cos x=0 , либо \sin x=\frac{1}{\sqrt 2} . Тогда либо x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} , либо x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} , либо x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} .

б) Отбор корней произведем в соответствии с рис. 1.6.

Ответ а) \frac{\pi}{4} + 2\pi k , k \in \mathbb{Z} ; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k , k \in \mathbb{Z} ; \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in \mathbb{Z} ; б) \frac{9\pi}{2} , \frac{19\pi}{4} , \frac{11\pi}{4} .

Задача 2.14.

Условие

a) Решите уравнение \cos 2x + \sqrt 2 \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0.

б) Найдите его решения, принадлежащие отрезку [2\pi;3,5 \pi].

Решение

а) Воспользуемся формулами приведения и косинуса двойного угла: \cos 2x + \sqrt 2 \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0\Longleftrightarrow 1-2\sin^2 x - \sqrt 2 \sin x+1=0. Решением уравнения является \sin x=\frac{1}{\sqrt 2} , откуда получаем решение x= \frac{\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} , x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} .

б) Заданный промежуток выделяет решения на втором круге: \frac{9\pi}{4} , \frac{11\pi}{4} .

Ответ а) x= \frac{\pi}{4}+2\pi k; \quad \frac{3\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ; б) \frac{9\pi}{4} , \frac{11\pi}{4} .

Пример 2.15.

Условие

а) Решите уравнение \frac{\sin 2x}{\cos \left(x + \frac{3\pi}{2} \right)} = 1.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -4\pi; - \frac{5\pi}{2} \right] .

Решение

а) Проведем цепочку равносильных преобразований: \begin{aligned}

&\frac{\sin 2x}{\cos \left(x + \frac{3\pi}{2} \right)} = 1

\Longleftrightarrow

\frac{\sin 2x}{\sin x} = 1

\Longleftrightarrow

\frac{2\sin x \cos x}{\sin x} = 1

\Longleftrightarrow \\

&\left\{\begin{aligned}

&\cos x = \frac{1}{2}, \\

&\sin x \ne 0,

\end{aligned} \right.

\Longleftrightarrow

x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, ~ k \in \mathbb{Z}.

\end{aligned}

б) Как всегда, на основном тригонометрическом круге отмечаем решения. Круги для отрицательных значений переменной изобразим внутри основного круга (чтобы не путать с положительными значениями). Отбирая корни, получаем, что в указанный промежуток попадает только x = - \frac{11\pi}{3} .

Ответ а) \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k , k\in \mathbb{Z} ; б) - \frac{11\pi}{3} .

Задача 2.16.

Условие

а) Решите уравнение 6 \sin^2 x + 7 \cos x - 7 = 0;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -3\pi; - \pi \right].

Решение

а) Решаем уравнение относительно \cos x и получаем \cos x=1 и \cos x =\frac{1}{6} . Отсюда x= 2\pi n , n\in \mathbb{Z} ; x=\pm \arccos \frac{1}{6} + 2 \pi k , k\in \mathbb{Z} ;

б) отбирая корни, получаем -2\pi , - 2 \pi - \arccos \frac{1}{6} , - 2 \pi + \arccos \frac{1}{6} .

Trig_60_2 Ответ а) x= 2\pi k; \quad \pm \arccos \frac{1}{6} + 2 \pi k , k\in \mathbb{Z} ; б) -2\pi , - 2 \pi - \arccos \frac{1}{6} , - 2 \pi + \arccos \frac{1}{6} .