Решение тригонометрических уравнений и сведение их к квадратным: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2.4.

Условие

Решите уравнение \sin 2 x = \frac{1}{4}.

Решение

Сначала решаем уравнение относительно 2x : \left[ \begin{aligned}

&2x = \arcsin \frac{1}{4}+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z}, \\

&2x = \pi- \arcsin \frac{1}{4}+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z} .

\end{aligned} \right. А дальше остается только выразить x , то есть разделить полученные выражения в правой части пополам: \left[ \begin{aligned}

&x = \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{4}+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z}, \\

&x = \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{4}+ 2\pi k, ~~k \in \mathbb{Z} .

\end{aligned} \right.

Ответ x = \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{4}+ 2\pi k, \quad \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{4}+ 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} .

Пример 2.5.

Условие

Решите уравнение \sin 2x = \cos (5x-4 ) .

Решение

Решим это уравнение аналогично предыдущему примеру. \sin 2x = \cos (5x-4 )\Longleftrightarrow \sin 2x-\sin \left(\frac{\pi}{2}-5x+4\right)=0\Longleftrightarrow 2\sin\frac{2x - \frac{\pi}{2} + 5x - 4}{2} \cos\frac{2x + \frac{\pi}{2} - 5x + 4}{2} =0\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned}

&\sin\frac{2x - \frac{\pi}{2} + 5x - 4}{2}=0,\\

&\cos\frac{2x + \frac{\pi}{2} - 5x + 4}{2} =0.

\end{aligned} \right.\Longleftrightarrow\\ \left[ \begin{aligned}

&7x-\frac{\pi}{2}+4=2\pi n,~~n\in\mathbb{Z},\\

&-3x + \frac{\pi}{2} + 4 = \pi + 2\pi n,~~n\in\mathbb{Z},\\

\end{aligned} \right.\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned}

&x = \frac{4}{7} + \frac{\pi}{14}+\frac{2\pi n}{7},~~n \in\mathbb{Z},\\

&x= \frac{4}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3},~~n \in\mathbb{Z}.\\

\end{aligned} \right.

Ответ \frac{4}{3} - \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3} , n \in \mathbb{Z} ; \frac{4}{7}+\frac{\pi}{14}+\frac{2\pi n}{7} , n \in\mathbb{Z}.

Задача 2.6.

Условие

Решите уравнение \sin (3x+1) = \cos (x-1 ) .

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Пример 2.7.

Условие

Решите уравнение \sin x + \cos 2x + 2 = 0 .

Решение

Данное уравнение допускает два способа решения. Во-первых, его можно решить, сводя уравнение к системе \left\{ \begin{aligned} &\sin x=-1,\\ &\cos

2x=-1.\end{aligned}\right. Однако есть и другой способ решения, а именно сведение данного уравнения к квадратному относительно \sin x . Воспользуемся формулой для косинуса двойного угла: \sin x+1-2\sin^2 x+2=0 \Leftrightarrow 2\sin^2 x-\sin x-3=0 Решая квадратное уравнение относительно \sin x , получаем одно решение \sin x=-1 (второй корень больше единицы).

Ответ x = -\pi/2 + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Задача 2.8.

Условие

Решите уравнение 2\cos 2x - 8 \cos x + 5= 0 .

Решение

С помощью формулы косинуса двойного угла приведем уравнение к квадратному относительно \cos x : 2\cos 2x - 8 \cos x + 5= 0 \Longleftrightarrow 4\cos^2 x -2-8\cos x+5=0\Longleftrightarrow \Longleftrightarrow \left(\cos x-\frac{3}{2}\right)\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)=0. Отсюда получаем решение уравнения: \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Ответ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} .

Пример 2.9.

Условие

Решите уравнение 6\cos^2 \frac{x}{4} = \cos x + 5.

Решение

Данное уравнение удобно свести к квадратному относительно \cos \frac{x}{2} , поскольку \cos^2 \frac{x}{4} и \cos x легко выражаются через \cos \frac{x}{2} . Действительно, 2 \cos^2 \frac{x}{4} = 1 + \cos \frac{x}{2} , \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 , поэтому \begin{aligned}

&6\cos^2 \frac{x}{4} = \cos x + 5 \Longleftrightarrow

3\left( 1 + \cos \frac{x}{2} \right) = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1 + 5 \Longleftrightarrow \\

& 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \cos \frac{x}{2} + 1 = 0 \Longleftrightarrow

\left[\begin{aligned}

&\cos \frac{x}{2} = 1,\\

&\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2},

\end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \\

& \left[\begin{aligned}

&\frac{x}{2} = 2 \pi k,~ k \in \mathbb{Z},\\

&\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k,~ k \in \mathbb{Z},

\end{aligned} \right. \Longleftrightarrow

\left[\begin{aligned}

&x = 4 \pi k,~ k \in \mathbb{Z},\\

&x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4 \pi k,~ k \in \mathbb{Z}.

\end{aligned} \right.

\end{aligned}

Ответ 4\pi k , k \in \mathbb{Z} ; \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k , k \in \mathbb{Z} .

Задача 2.10.

Условие

Решите уравнение \cos 4x + 6 \sin^2 x = 1.

Решение

Преобразуем это уравнение, выражая все тригонометрические функции через \cos 2x : \cos 4x + 6 \sin^2 x = 1\Longleftrightarrow 2\cos^2 2x-1+6\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=1. Решая квадратное уравнение, получаем \cos 2x=1 и \cos 2x=\frac{1}{2} . Отсюда ответ: x= \pi k , k \in \mathbb{Z} ; x=\pm \frac{\pi}{6} + \pi k , k \in \mathbb{Z} .

Ответ x= \pi k , k \in \mathbb{Z} ; x=\pm \frac{\pi}{6} + \pi k , k \in \mathbb{Z} .

Пример 2.11.

Условие

а) Решите уравнение 2\sin^2 x - \cos x-1=0 ;

б) найдите все корни, принадлежащие отрезку \left[ 3\pi; 4\pi \right]

Решение

а) 2\sin^2 x - \cos x-1=0 \Longleftrightarrow 2\cos^2x+\cos x-1=0 \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow (\cos x+1)\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)=0. Ответом на первый вопрос задачи будут x= \pi+2\pi n~ n \in \mathbb{Z} и x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n~ n \in \mathbb{Z} .

б) Для того, чтобы ответить на второй вопрос, надо с помощью тригонометрической окружности выбрать решения, попадающие в заданный промежуток: это x=3\pi из первой серии решений и x=\frac{11\pi}{3} из второй серии решений.

Ответ а) \pi+2\pi n~ n \in \mathbb{Z} ; \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n~ n \in \mathbb{Z} ; б) 3\pi , \frac{11\pi}{3} .

Задача 2.12.

Условие

а) Решите уравнение 2\cos^2 x - 3\sin x =0 ;

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \left[ \frac{9\pi}{2}; \frac{11\pi}{2} \right] .

Решение

а) Сначала решим уравнение: 2\cos^2 x - 3\sin x =0 \Longleftrightarrow 2-2\sin^2 x-3\sin x=0\Longleftrightarrow \left(\sin x+2\right)\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)=0. Подходит только решение \sin x=\frac{1}{2} , откуда x=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ; x= \frac{5\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ;

б) Отметим решения на основной окружности для 0\leq x\leq 2\pi : x=\frac{\pi}{6} и x= \frac{5\pi}{6} , а потом добавим еще два круга: 2\pi\leq x\leq 4\pi и 4\pi\leq x\leq 6\pi . На последнем круге находится интересующая нас область, в эту область попадает x= \frac{5\pi}{6}+2\cdot 2\pi=\frac{29\pi}{6} .

Ответ а) x=\frac{\pi}{6}+2\pi n; \quad \frac{5\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ; б) \frac{29\pi}{6} .