Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами Часть 2: Часть 2

Видео

Конспект

Иногда удобно при решении задач, не содержащих тригонометрических функций, ввести эти функции как вспомогательные переменные. Рассмотрим на примере как это делается.

Пример 8.12.

Условие

При каких a неравенство имеет решения: \sqrt {1 - x^2} > a - x .

Решение

Из условия неотрицательности подкоренного выражения получаем, что \left| x \right| \leq 1 . Положим x = \cos t , в этом случае мы не сузим область изменения x . Область изменения введенной нами переменной t можно задать так, как нам удобно, например, t \in \left[ {0,\pi } \right] , поскольку при таких t переменная x принимает все значения из своей области определения, а также, как будет видно из дальнейшего, упрощается процесс решения. Так мы приходим к неравенству \left|{\sin t} \right| > a - \cos t . Но при выбранной области определения тригонометрической функции \sin t \geq 0 , поэтому модуль можно снять - тогда объем решения уменьшится наполовину! Итак, имеем неравенство: \sin t > a - \cos t .

Решим его методом введения вспомогательного аргумента: \sin t > a - \cos t \Longleftrightarrow

\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi}{4}\right)>a\Longleftrightarrow \sin \left(t+\frac{\pi}{4}\right)>\frac{a}{\sqrt{2}}. Для существования решения нужно, чтобы \frac{a}{\sqrt{2}}<1 , так как область значений функции \sin t есть отрезок [-1,1] . Иначе ни при каких значениях аргумента тригонометрической функции неравенство не будет выполнено.

Ответ a \in ( - \infty; \sqrt 2 ) .

Задача 8.13.

Условие

При каких a и b система имеет единственное решение: \left\{ {\begin{array}{l}

x^2 + y^2 = 1 \\

ax + by = 1 \\

\end{array}} \right. .

Совет Рекомендуется ввести вспомогательные переменные x = \cos t , y = \sin t .

Пример 8.14.

Условие

При каких a уравнение имеет ровно 5 различных корней: (1 + \sin (4ax))\sqrt {5\pi x - x^2} = 0 .

Решение

Уравнение эквивалентно совокупности уравнений \left[ {\begin{array}{l}

1 + \sin (4ax)=0,\\

\sqrt {5\pi x - x^2}=0.\\

\end{array}} \right. Заметим, что в дальнейшем можно рассматривать a\ne 0 , так как при a=0 уравнение имеет только два решения. Второе соотношение не зависит от параметра, поэтому начнем исследование с него. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательно 5\pi x - x^2\geq 0\Longleftrightarrow 0\leq x\leq

5\pi. Во-вторых, второе уравнение совокупности дает 2 корня x=0 и x=5\pi . Таким образом, первое уравнение должно давать ровно три корня, если они не совпадают с уже указанными двумя: \sin (4ax)=-1\Longleftrightarrow x=\frac{3\pi}{8a}+\frac {\pi

n}{2a}.

Расмотрим сначала случай, когда a>0 . Тогда первые три корня для n=0,1,2 (те, которые нужны, чтобы набрать 5 корней!) должны находиться строго внутри области [0,5\pi] , а следующий корень уже должен быть вне этой области или в крайнем случае совпадать с 5\pi . Совпадение возможно, так как в этом случае корней будет все равно 5, ведь корень 5\pi уже посчитан. Тогда имеем систему для a>0 : \left\{ {\begin{array}{l}

a>0\\

\frac{3\pi}{8a}+\frac{2\pi}{2a}<5\pi\\

\frac{3\pi}{8a}+\frac{3\pi}{2a}\geq 5\pi

\end{array}} \right. . Решая эту систему, получаем \left\{ {\begin{array}{l}

a>0\\

\frac{3}{8a}+\frac{2}{2a}<5\\

\frac{3}{8a}+\frac{3}{2a}\geq 5\\

\end{array}} \right. \quad \Longleftrightarrow \quad

\left\{ {\begin{array}{l}

a>0\\

3+8<40a\\

3+12\geq 40a

\end{array}} \quad \right.\Longleftrightarrow \quad

a\in \left(\frac{11}{40}, \frac{3}{8}\right]. Рассматрим аналогично случай для a < 0 . Тогда \left\{ {\begin{array}{l}

a<0\\

\frac{3\pi}{8a}-\frac{3\pi}{2a}<5\pi\\

\frac{3\pi}{8a}-\frac{4\pi}{2a}\geq 5\pi

\end{array}} \right. . Преобразуем неравенства с учетом a<0 и получим вторую область изменения параметра: - \frac{13}{40} \leq a < - \frac{9}{40} .

Ответ a \in \left[- \frac{13}{40} ; - \frac{9}{40} \right) \cup \left( \frac{11} {40} ; \frac{3}{8} \right] .

Задача 8.15.

Условие

При каких a уравнение имеет ровно 4 различных корня: \left(1 - \sin (2ax) \vphantom{x^2} \right) \sqrt {3\pi x - x^2} = 0 .

Задачи повышенной сложности

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение \sin \sqrt{ax - x^2 - \pi^2} + \cos 2\sqrt{ax - x^2 - \pi^2} = 0 имеет ровно два решения.

Ответ: a \in \left( - \frac{\sqrt{85}}{3} \pi; - \sqrt 5 \pi \right) \cup

\left(\sqrt 5 \pi; \frac{\sqrt{85}}{3} \pi \right) .

При каких a системы \left\{ {\begin{array}{l}

\sin(x+y)=0,\\

x^2+y^2=a\\

\end{array}} \right. и \left\{ {\begin{array}{l}

x+y=0,\\

x^2+y^2=a\\

\end{array}} \right. равносильны?

Ответ: \left( - \infty; \frac{\pi^2}{2} \right) .

При каких a уравнение 1+\sin^2(ax)=\cos x имеет единственное решение?

Ответ: при иррациональных a .