Основные тригонометрические формулы и тождества: Часть 3
Математика, 10 класс
Основные тригонометрические формулы В этот раздел включены задачи на знание и применение тригонометрических формул. Прежде чем решать уравнения и неравенства, необходимо научиться преобразовывать и уп...
Видео
Конспект
Основные тригонометрические формулы
В этот раздел включены задачи на знание и применение тригонометрических формул. Прежде чем решать уравнения и неравенства, необходимо научиться преобразовывать и упрощать тригонометрические выражения.
\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1\tag{1.1} Функции двойного и тройного аргумента
\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cdot \cos \alpha\tag{1.2} \cos 2\alpha=\cos^2
\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2 \alpha-1=1-2\sin^2 \alpha\tag{1.3} tg
2\alpha=\frac{2tg \alpha }{1-tg^2 \alpha}\tag{1.4} ctg
2\alpha=\frac{ctg^2 \alpha - 1}{2ctg \alpha }\tag{1.5} \sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\tag{1.6} \cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\tag{1.7} tg 3\alpha = \frac{3tg \alpha - tg^3 \alpha}{1 - 3tg^2 \alpha}\tag{1.8} ctg 3\alpha = \frac{3ctg \alpha - ctg^3 \alpha}{1 - 3ctg^2 \alpha}\tag{1.9} Из формулы (1.3) следует, что
\sin^2 \alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}\tag{1.10} \cos^2
\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\tag{1.11} Формулы для синуса, косинуса и тангенса суммы и разности аргументов
\sin(\alpha\pm \beta)=\sin \alpha\cos \beta\pm\sin \beta\cos \alpha\tag{1.12} \cos(\alpha\pm \beta)=\cos \alpha\cos \beta\mp\sin \alpha\sin \beta\tag{1.13} tg(\alpha\pm \beta)=\frac{tg \alpha \pm tg \beta}{1\mp tg \alpha tg \beta}\tag{1.14} Формула (1.14) верна для \alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi n , \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi n , \alpha \pm \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi n , n \in
\mathbb{Z} .
ctg(\alpha\pm \beta)=\frac{ctg \alpha ctg \beta \mp 1}{ctg \beta \pm ctg \alpha}\tag{1.15} Формула (1.15) верна для \alpha \ne \pi n , \beta \ne \pi n , \alpha \pm \beta \ne \pi n , n \in
\mathbb{Z} .
Заметим, что области определения функций в левой и правой частях формул (1.14) и (1.15) не совпадают.
Формулы для сумм, разностей и произведений тригонометрических функций
\sin \alpha \pm \sin \beta=2\sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp
\beta}{2}\tag{1.16} \cos \alpha + \cos \beta=2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha -
\beta}{2}\tag{1.17} \cos \alpha - \cos \beta=- 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha -
\beta}{2}\tag{1.18} \sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin (\alpha + \beta)+ \sin (\alpha- \beta)}{2}
\tag{1.19} \sin \alpha \sin \beta=\frac{\cos (\alpha - \beta)- \cos (\alpha+ \beta)}{2}
\tag{1.20} \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos (\alpha - \beta)+ \cos (\alpha+ \beta)}{2}
\tag{1.21} tg \alpha \pm tg \beta=\frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos
\beta}\tag{1.22} Формула (1.22) верна для \alpha \ne
\frac{\pi}{2} + \pi n , \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi n , n \in \mathbb{Z} .
ctg \alpha \pm ctg \beta=\frac{\sin ( \beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin
\beta}\tag{1.23} Формула (1.23) верна для \alpha \ne
\pi n , \beta \ne \pi n , n \in \mathbb{Z} .
Формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом
1+tg^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha} \tag{1.24} 1+ctg^2 \alpha=\frac{1}{\sin^2 \alpha}\tag{1.25} \sin
\alpha=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}} \tag{1.26} \cos
\alpha=\frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}\tag{1.27} tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}\tag{1.28} tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}\tag{1.29} Формулы верны для всех \alpha из области определения входящих в них функций.
В приведенной ниже таблице представлены часто встречающиеся значения тригонометрических функций для верхней половины тригонометрического круга. Значения функций для углов для нижней половины круга получаются из свойств четности и нечетности тригонометрических функций.
рад
0
{\pi}/{6}
\pi/4
\pi/3
\pi/2
2\pi/3
3\pi/4
5\pi/6
\pi
(град)
(0^\circ)
(30^\circ)
(45^\circ)
(60^\circ)
(90^\circ)
(120^\circ)
(135^\circ)
(150^\circ)
(180^\circ)
\sin\alpha
0
\frac{1}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{\sqrt{3}}{2}
1
\frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{1}{2}
0
\cos\alpha
1
\frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{1}{2}
0
- \frac{1}{2}
- \frac{\sqrt{2}}{2}
- \frac{\sqrt{3}}{2}
-1
tg\alpha
0
\frac{1}{\sqrt{3}}
1
\sqrt{3}
\infty
-\sqrt{3}
-1
- \frac{1}{\sqrt{3}}
0