Основные тригонометрические формулы и тождества: Часть 4

Видео

Конспект

Все формулы, приведенные выше, могут быть получены из формулы косинуса суммы двух углов. Выведем эту формулу, а потом получим из нее все остальные. На тригонометрической окружности отметим точки A(\cos \alpha; \sin \alpha) , B(\cos \beta; -\sin \beta) , C \left(\cos (\alpha+\beta); \sin (\alpha+\beta)\vphantom{F^2}\right) и D(1; 0) (см. рис. 1.4). Треугольник OAB равен треугольнику OCD по первому признаку равенства треугольников, поэтому AB=CD .

Trig_61_2 По формуле расстояния между точками на координатной плоскости имеем AB^2=(\cos \beta - \cos \alpha)^2+(\sin \beta + \sin \alpha)^2= =\cos ^2 \beta+ \sin^2 \beta +\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta= =2-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta; CD^2=\left(\cos(\alpha+\beta)-1\right)^2+\left(\sin(\alpha+\beta)-0\right)^2= =2-2\cos(\alpha+\beta). Отсюда AB^2=CD^2\Longleftrightarrow 2-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta=2-2\cos(\alpha+\beta)\Longleftrightarrow \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. Из этой формулы, используя

нечетность функции y = \sin x , получим \cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin(-\beta)= =\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. Следующая формула получается с помощью формулы приведения: \sin(\alpha+\beta)=\cos\left(\frac{\pi}{2}- (\alpha+\beta)\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}- \alpha\right) -\beta\right)= =\cos\left(\frac{\pi}{2}- \alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}- \alpha\right)\sin \beta= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. Аналогично формуле для \cos(\alpha-\beta) , используя четность функции y = \cos x и нечетность функции y = \sin x , получим \sin (\alpha-\beta)=\sin (\alpha+(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos \alpha \sin(-\beta)= =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. По определению функции y = tg x имеем tg(\alpha+\beta)=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}; В последнем выражении разделим числитель и знаменатель на произведение \cos \alpha\cos\beta \ne 0 : tg(\alpha+\beta)=\frac{tg \alpha+tg\beta}{1-tg \alpha tg\beta}. Формула tg(\alpha-\beta)=\frac{tg \alpha-tg\beta}{1+tg \alpha tg\beta} получается аналогично формуле для тангенса суммы.

Полагая \beta=\alpha в формулах косинуса, синуса и тангенса суммы двух аргументов, получаем \cos 2\alpha , \sin 2\alpha и tg 2\alpha : \cos 2\alpha=\cos \alpha\cdot\cos \alpha - \sin \alpha\cdot \sin \alpha=cos^\alpha-\sin^2 \alpha; \sin 2\alpha=\sin \alpha\cdot\cos \alpha + \cos \alpha\cdot \sin \alpha=2\sin \alpha\cdot \cos \alpha; tg 2\alpha=\frac{tg \alpha+tg\alpha}{1-tg \alpha tg\alpha}=\frac{2tg \alpha}{1-tg^2 \alpha}. Получим еще две формулы для \cos 2\alpha : \cos 2\alpha=cos^2\alpha-\sin^2 \alpha=cos^2\alpha-1+\cos^2 \alpha=2\cos^2\alpha-1; \cos 2\alpha=cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=1-sin^2 \alpha-\sin^2 \alpha=1-2\sin^2\alpha. Выведем формулу для \sin \alpha \sin\beta . \cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)= =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)= - 2\sin\alpha\sin\beta \Longrightarrow\sin \alpha \sin\beta= - \frac{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)}{2}. Формулы (1.21) и (1.23) получаются аналогично.

И, наконец, формула суммы синусов двух углов. \sin \alpha+\sin \beta=\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}+\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}= =\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}+ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}- -\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. Формулы (1.18)-(1.19) получаются аналогично.

Формула (1.24) для суммы тангенсов двух углов: tg \alpha+tg\beta=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}

=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}. Формула (1.24) для разности тангенсов получается аналогично.

Наконец, формулы для представления синуса и косинуса через тангенс половинного угла. \sin

\alpha=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot \cos\frac{\alpha}{2}}{1}=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot \cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}}. Разделим числитель и знаменатель дроби на \cos^2\frac{\alpha}{2} и получим \sin \alpha=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}

Аналогично получаем формулу для \cos\alpha : \cos \alpha=\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}}{1}=\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}}

=\frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}.