Обратные тригонометрические функции: Часть 2

Видео

Конспект

Наряду с определением обратных тригонометрических функций удобно использовать следующие соотношения:

arcsin(-a)=-arcsin a,\quad если \quad |a|\leqslant 1;\tag{6.1} arccos(-a)=\pi-arccos a,\quad если \quad |a|\leqslant 1; \tag{6.2} arctg(-a)=-arctg a;\tag{6.3} arcctg(-a)=\pi-arcctg a;\tag{6.4} \sin(arcsin(a))= a,\quad если \quad |a|\leqslant 1;\tag{6.5} \cos(arccos(a))= a,\quad если \quad |a|\leqslant 1;\tag{6.6} tg(arctg(a))= a;\tag{6.7} \ctg(arcctg(-a))=a;\tag{6.8} arcsin(\sin\beta)=\beta,\quad если \quad -\frac{\pi}{2}\leqslant \beta\leqslant \frac{\pi}{2};\tag{6.9} arccos(\cos\beta)=\beta,\quad если \quad 0 \leqslant \beta \leqslant \pi;\tag{6.10} arctg(tg\beta)=\beta,\quad если \quad -\frac{\pi}{2}< \beta< \frac{\pi}{2};\tag{6.11} arcctg(\ctg\beta)=\beta,\quad если \quad 0 < \beta < \pi;\tag{6.12} arcsin a + arccos a = \frac{\pi}{2}\tag{6.13} arctg a + arcctg a = \frac{\pi}{2}\tag{6.14} Соотношение (6.1) непосредственно следует из нечетности функции y = arcsin x .

Докажем, например, соотношение (6.2). Пусть arccos a = \alpha , где 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi . Тогда \cos \alpha = a . По формуле приведения \cos (\pi - \alpha) = - \cos \alpha = - a . Отметим, что 0 \leqslant \pi - \alpha \leqslant \pi , поэтому arccos ( - a) = \pi - \alpha = \pi - arccos a .

Пример 6.5.

Условие

Вычислите arcsin\left(\sin\frac{11\pi}{12}\right).

Решение

На первый взгляд кажется, что, используя тождество (6.9), можно получить ответ \frac{11\pi}{12} . Однако, это значение не принадлежит промежутку [-\pi/2,\pi/2] , следовательно, не может быть значением функции arcsin x . Для решения задачи нужно найти такое значение \beta , чтобы \sin\frac{11\pi}{12} = \sin \beta , но при этом \beta \in [-\pi/2,\pi/2] (см. рис. 1.9). Поскольку по формуле приведения \sin \frac{11 \pi}{12} = \sin \left( \pi - \frac{11 \pi}{12} \right) = \sin \frac{\pi}{12} , то \beta = \frac{\pi}{12} , поэтому arcsin \left( \sin \frac{11 \pi}{12} \right) = \frac{\pi}{12} .

Ответ \frac{\pi}{12} .

Trig_58 Задача 6.6.

Условие

Вычислите arcsin\left(\sin\frac{11\pi}{6}\right).

Решение

Угол \frac{11\pi}{6} находится в 4-й четверти тригонометрического круга.Угол, синус которого равен \sin\frac{11\pi}{6} , но при этом он лежит в промежутке [-\pi/2,\pi/2] , равен -\frac{\pi}{6} .

Ответ - \frac{\pi}{6} .

Пример 6.7.

Условие

Вычислите arcsin\left(\sin 15 \right).

Решение

С помощью формул приведения преобразуем аргумент так, чтобы он принадлежал промежутку \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] , и мы могли воспользоваться формулой (6.9). Воспользуемся тем, что \pi\approx 3,14 . Тогда 5\pi\approx 15,7 и искомым значением будет 5\pi - 15 (см. рис. 1.9). По формуле приведения \sin 15 = \sin \left( 5\pi - 15 \right) , поэтому arcsin \left( \sin 15 \right) = 5\pi - 15 .

Ответ 5\pi- 15 .

Пример 6.8.

Условие

Вычислите arccos\left(\cos 15 \right).

Решение

Аналогично предыдущей задаче попробуем за счет формул приведения найти то значение аргумента, чтобы он лежал в промежутке [0;\pi] и одновременно его косинус совпадал с \cos 15 . Так как 4\pi\approx 12,56 , то ответом будет служить 15 - 4\pi .

Ответ 15 - 4\pi .

Иногда решение уравнения или неравенства, содержащего обратные тригонометрические функции, удается разделить на два этапа: сначала, введя новую переменную, перейти к решению неравенства без тригонометрических функций, а потом найти искомые обратные функции.

Пример 6.9.

Условие

Решите уравнение 2arcsin^2 x-arcsin x-6=0.

Решение

Обозначим t=arcsin x , при этом -\frac{\pi}{2}\leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2} . Тогда получаем уравнение относительно t : \begin{array}{l}

2arcsin^2 x-arcsin x-6=0 \Longleftrightarrow 2t^2-t-6=0\Longleftrightarrow \\

\qquad \Longleftrightarrow 2(t-2)\left(t+\frac{3}{2}\right)=0.

\end{array} Отсюда, с учетом ограничений на t , получаем одно решение t=-\frac{3}{2} , откуда x=\sin\left(-\frac{3}{2}\right) . Второй корень квадратного уравнения не подходит, так как t=2>\frac{\pi}{2} .

Ответ x = -\sin\left(\frac{3}{2}\right) .

Задача 6.10.

Условие

Решите уравнение arctg^2 \frac{x}{3}-4arctg \frac{x}{3}-5=0.

Решение

Решая уравнение как квадратное относительно t=arctg \frac{x}{3} , получим два корня: t=-1 и t=5 . Второй корень не подходит так как он не принадлежит промежутку \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] . Остается t=-1\Longleftrightarrow x=-3tg 1 .

Ответ x = -3tg 1 .

В ряде уравнений и неравенств при решении существенно используются определения и свойства обратных тригонометрических функций.

Пример 6.11.

Условие

Решите уравнение arccos x=arctg x.

Решение

Областью изменения функции arccos x является промежуток [0;\pi] , а областью изменения arctg x - промежуток \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right) . Для данного уравнения общей частью этих промежутков будет \left[ 0;\frac{\pi}{2} \right) . Тогда arccos x=arctg x\Longleftrightarrow \cos(arccos x)=\cos(arctg x)\Longleftrightarrow x=\cos \alpha, где \alpha=arctg x\Longrightarrow x=tg \alpha . Воспользуемся формулой (1.26). Тогда \cos^2\alpha=\frac{1}{1+x^2} . Интересующий нас угол находится в первой четверти, поэтому в уравнении можно возвести обе части в квадрат, не приобретая новых решений. x=\cos \alpha\Longleftrightarrow x^2=\cos ^2\alpha \Longleftrightarrow x^2=\frac{1}{1+x^2}\Longleftrightarrow x^4+x^2-1=0\Longleftrightarrow x^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Longleftrightarrow x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.

Ответ x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\vphantom{\int\limits_1} .