Обратные тригонометрические функции: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 6.12.

Условие

Решите уравнение arcctg x=arcsin x.

Решение

Областью изменения функции arcctg x является промежуток [0;\pi] , а областью изменения arcsin x - промежуток \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right) . Для данного уравнения общей частью этих промежутков будет \left[ 0;\frac{\pi}{2} \right) . Тогда arcctg x=arcsin x\Longleftrightarrow \sin arcctg x=\sin arcsin x\Longleftrightarrow x=\sin \alpha, где \alpha=arcctg x\Longrightarrow x=\ctg \alpha . Тогда \sin^2\alpha=\frac{1}{1+x^2} . Интересующий нас угол находится в первой четверти, поэтому в уравнении можно возвести обе части в квадрат, не приобретая новых решений. x=\sin \alpha\Longleftrightarrow x^2=\sin ^2\alpha \Longleftrightarrow x^2=\frac{1}{1+x^2}\Longleftrightarrow x^4+x^2-1=0\Longleftrightarrow x^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Longleftrightarrow x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.

Ответ x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\vphantom{\int\limits_1^2} .

Пример 6.13.

Условие

Решите уравнение x=\frac{1}{6}arctg(tg 6x +\cos 7x).

Решение

x=\frac{1}{6}arctg(tg 6x +\cos 7x)\Longleftrightarrow 6x=arctg(tg 6x +\cos 7x). Если равны значения двух величин, то равны и их тангенсы при условии, что эти величины не равны \frac{\pi}{2}+\pi n . Но правая часть уравнения представляет собой функцию arctg , отсюда -\frac{\pi}{2} < 6x < \frac{\pi}{2} . Поэтому исходное уравнение эквивалентно системе \left\{

{\begin{array}{l}

tg 6x = tg 6x+\cos 7x, \\

-\frac{\pi}{2} < 6x < \frac{\pi}{2},

\end{array}} \right. \hskip-3mm\Longleftrightarrow

\left\{

{\begin{array}{l}

\cos 7x = 0, \\

-\frac{\pi}{2} < 6x < \frac{\pi}{2},

\end{array}} \right. \hskip-3mm\Longleftrightarrow

\left\{

{\begin{array}{l}

x = \frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}, \\

-\frac{\pi}{2} < 6x < \frac{\pi}{2}.

\end{array}} \right. Выбираем из решений уравнения те значения переменной, которые удовлетворяют неравенствам и получаем ответ.

Ответ x = \pm \frac{\pi}{14}.

Задача 6.14.

Условие

Решите уравнение x+\frac{1}{8}arcsin(\sin 17x -2\sin 3x \sin 5x)= \frac{\pi}{16}.

Решение

x+\frac{1}{8}arcsin(\sin 17x -2\sin 3x

\sin 5x)= \frac{\pi}{16}\Longleftrightarrow arcsin(\sin 17x -2\sin 3x\sin 5x)= \frac{\pi}{2}-8x. Отсюда -\frac{\pi}{2}\leq\frac{\pi}{2}-8x\leq\frac{\pi}{2}\Longleftrightarrow 0\leq x \leq \frac{\pi}{8}. С учетом этих условий преобразуем уравнение: \sin 17x -2\sin 3x \sin 5x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-8x\right)\Longleftrightarrow\sin 17 x-\cos 2x+\cos 8x=\cos 8x. Далее, чтобы воспользоваться формулой разности синусов, преобразуем уравнение следующим образом: \sin 17 x-\sin \left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0\Longleftrightarrow2\sin \frac{17-\frac{\pi}{2}+2x}{2}\cos \frac{17+\frac{\pi}{2}-2x}{2}=0. Решением этого уравнения будут x=\frac{1}{19}\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right) и x=\frac{1}{15}\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right) , n\in \mathbb{Z} . Из ограничений следует, что подходят только x=\frac{\pi}{38} , x= \frac{\pi}{30}.

Ответ x = \frac{\pi}{38}, \quad \frac{\pi}{30}.

Задачи повышенной сложности

Известно, что tg \alpha = \sqrt 3 . Сравните arccos \left( - \sqrt{- 3 \cos \alpha - 1} \right) \quad и \quad

\frac{19 \pi}{24}.

Ответ: arccos \left( - \sqrt{- 3 \cos \alpha - 1} \right) < \frac{19 \pi}{24} .

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение \begin{array}{l}

arctg \left( (3a - 1) \sin^2 x - \left( 3a^3 - a^2 + 3a - 1 \right)\sin x + \right.\\

\qquad \left. + tg (ax - a \pi) \right) - ax + a \pi = 0

\end{array} имеет ровно три решения.

Ответ: \left( - \frac{1}{2}; - \frac{1}{4} \right] \cup \left[ \frac{1}{4}; \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; \frac{1}{2} \right) .