Круглые тела. Часть 1.: Часть 3

Видео

Конспект

Цилиндры: осевое сечение, площадь боковой поверхности, объём сектора

Осевое сечение цилиндра

Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Для прямого кругового цилиндра осевое сечение является прямоугольником, одна сторона которого равна высоте цилиндра h , а другая – диаметру основания 2r . Площадь осевого сечения: S_{ос.сеч} = 2r \cdot h.

120 Рис. 6: Осевое сечение цилиндра

Связь с площадью боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра: S_{бок} = 2\pi r h = \pi \cdot (2rh) = \pi \cdot S_{ос.сеч}. Таким образом, площадь боковой поверхности всегда в \pi раз больше площади осевого сечения.

Задачи на осевое сечение

Задача. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 . Найдите площадь боковой поверхности.

Решение. Площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле: S_{бок} = 2\pi r\cdot h. Площадь осевого сечения: S_{ос.сечения} = d\cdot h = 2rh. Отсюда получаем S_{бок} = \pi\cdot 2rh = 4\pi.

Задача. Радиус основания цилиндра r = 3 , высота h = \frac{6}{\pi} . Найдите площадь осевого сечения и площадь боковой поверхности.

Решение. Площадь осевого сечения: S_{ос.сечения} = 2rh = \frac{36}{\pi}. Площадь боковой поверхности: S_{бок} = 2\pi rh = 36.

Задача. Из цилиндра с высотой h = 12 и радиусом r = 4 вырезан сектор с углом 60^\circ = \frac{\pi}{3} . Найдите объём оставшейся части.

121 Рис. 7: Иллюстрация к задаче

Решение. Для рассматриваемой фигуры так же верна формула для объема: V = h\cdot S_{осн}. В данном случае площадь основания – это площадь оставшегося сектора: S_{сект} = \frac{\varphi r^2}{2}, где \varphi – угол в радианах.

Таким образом, для объема получаем V = 12\cdot \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{16}{2} = 160 \pi.

Задача. Объём цилиндра равен 180 . Из него вырезали сектор в 20^\circ . Найдите объём отрезанной части.

Решение. Доля отрезанной части: \frac{20}{360} = \frac{1}{18} . Объём отрезанной части: V_{отр} = \frac{1}{18} \cdot 180 = 10. (Оставшаяся часть, соответственно, 170 .)