Круглые тела. Часть 1.: Часть 2

Видео

Конспект

Задачи на цилиндр

117 Рис. 3: Иллюстрация к задаче

Задача. Длина образующей цилиндра равна 8 , длина окружности основания равна 4\pi . Найдите объём цилиндра (или объём, делённый на \pi ).

Решение. Образующая равна высоте: h = 8 . Из длины окружности l = 2\pi r = 4\pi получаем радиус основания: r=2 .

Отсюда получаем объем: V = h\cdot S_{осн} = h\cdot \pi r^2 = 8\cdot 4\cdot \pi = 32 \pi.

Задача. Объём цилиндра равен 8\pi , радиус основания равен 4 . Найдите длину образующей (высоту).

Решение. Запишем формулу для объема: V = \pi r^2 h. Подставляем известные значения: \pi r^2 h = 8\pi, \pi h \cdot 16 = 8\pi. Отсюда получаем h = \frac{1}{2} .

118 Рис. 4: Иллюстрация к задаче

Задача. Объём первого цилиндра равен 64м^3 . У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания в 4 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Решение. Обозначим через r и h радиус и высоту первого цилиндра. Объем первого цилиндра: V_1 = \pi r^2 h. Распишем выражение для объема второго цилиндра: V_2 = \pi \left( \frac{r}{4} \right)^2 \cdot 3h = \frac{3}{16} \pi r^2 h = \frac{3}{16}V_1 = 12.

Цилиндры: задачи на переливание и объём детали

Задача. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости равен 8 см. Этот же объём перелили в цилиндр, диаметр которого в 2 раза больше. На какой высоте установится уровень жидкости в новом сосуде?

119 Рис. 5: Иллюстрация к задаче

Решение. Обозначим радиус первого сосуда r , высоту h_1 = 8 см. Объём жидкости: V = \pi r^2 h_1 не меняется. Поэтому V = h_1\cdot \pi r^2 = h_2 \cdot \pi \left( 2r \right) ^2. Отсюда получаем h_1 \cdot \pi r^2 = 4h_2 \cdot \pi r^2, h_2 = \frac{h_1}{4}. Таким образом, h_2 = 2 см .

Задача. В цилиндрический сосуд налили 6 см ^3 воды. После полного погружения детали уровень воды увеличился в 1.5 раза. Найдите объём детали.

Решение. Объем, который заполняет жидкость после погружения детали, равен сумме объемов жидкости и детали: V_2 = h_2 \cdot \pi r^2 = V_{в} + V_{дет}. Отсюда получаем выражение для объема детали: V_{дет} = V_2 - V_{в} = h_2\cdot \pi r^2 - h_1\cdot \pi r^2 = \frac{3}{2}h_1 \cdot \pi r^2 - h_1 \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2} h_1 \pi r^2 = \frac{1}{2} V_{в} = 3 см^3.

Задача. В цилиндрический сосуд налили 2000 см ^3 воды. Уровень воды составил 12 см. После погружения детали уровень поднялся на 9 см. Найдите объём детали.

Решение. Из выражения для объема V = h\cdot S_{осн} найдем площадь основания: S_{осн} = \frac{2000}{12} = \frac{500}{3}\left[ см^2 \right]. Теперь мы можем найти объем жидкости после погружения детали: V_{пов} = S_{осн} \cdot \left( h_1+h_2 \right) = \frac{500}{3}\cdot 21 = 3500.