Поток поля. Непрерывность магнитного потока.: Часть 3

Видео

Конспект

Часть III: Поток полей соленоидов. Связь компонент и магнитная левитация.

Рассмотрим в качестве примера магнитное поле соленоида – контура с током I из N витков, намотанных на цилиндрический «сердечник» длиной L с радиусом r \ll L . Как мы уже знаем, магнитное поле в таком «длинном и тонком» соленоиде вдали от его торцов почти однородно и направлено вдоль оси соленоида, причем его индукция равна B_{in} = \mu_0 n I , где плотность намотки для такого соленоида n \equiv \frac{N}{L} . Магнитный поток, протекающий через сечение S = \pi r^2 длинного соленоида в его центральной части \Phi_{in} = B_{in} \cdot S = \mu_0 \pi n r^2 I . Индукция магнитного поля снаружи соленоида вдали от его концов намного меньше по величине и направлено почти параллельно границе соответствующего цилиндра, так что поток почти через всю боковую границу поверхности соленоида (кроме небольших областей вблизи его торцов) \Phi_{бок} \approx 0 . Отметим особо, что – это поток через сечение соленоида, а поток через соленоид (как через контур, то есть через все его витки) будет примерно в N раз больше: \Phi_s = N \cdot \Phi_{in} = \mu_0 \pi \frac{N^2}{L} r^2 I.

А как выглядит магнитное поле вблизи торца соленоида? Начнем с исследования поведения составляющей вектора индукции, параллельной оси соленоида. Введем для задания конкретной точки наблюдения координату z , отсчитываемую от плоскости торца соленоида, и координату \rho , равную расстоянию до точки наблюдения от оси. Таким образом, мы ищем B_{\parallel}(z, \rho) при z = 0 .

image.png

Добавим к исходному соленоиду такой же, дополнив его до бесконечного. Добавленный соленоид в плоскости основания создаёт такое же магнитное поле в направлении оси, как и исходный. Суммарное поле внутри «двойного» (то есть бесконечного) соленоида равняется B_{in} = \mu_0 n I а снаружи – нулю. Таким образом, для одного соленоида (для которого мы получим параллельную составляющую \vec{B} , равную половине от ее значения для двух) мы находим, что в точке, находящейся снаружи соленоида в плоскости его торца, проекция поля на ось равна нулю. При этом индукция поля, создаваемого полубесконечным соленоидом в этой плоскости внутри (то есть в своем основании), имеет проекцию \frac{B_{in}}{2} в направлении оси в любой точке. В результате мы можем записать: B_{\parallel}(0, \rho) = \left\{ \begin{array}{c} \mu_0 n I / 2, \ \rho \le r \\ 0, \ \quad \quad \rho > r \end{array} \right. .

image.png

Но с помощью примененного метода, основанного на принципе суперпозиции, мы ничего не можем сказать о перпендикулярной оси соленоида составляющей магнитного поля. Ведь (см.рисунок) у двух «поставленных друг на друга» полубесконечных соленоидов эти составляющие противоположны, и они дают необходимый ноль независимо от своей величины. Поэтому воспользуемся другим подходом, основанном на свойстве непрерывности магнитного потока.

Рассмотрим поле над торцом соленоида. Мы определили параллельную оси составляющую индукции только в плоскости z = 0 . На самом деле параллельная оси соленоида составляющая индукции убывает с ростом z . Конкретную зависимость можно установить, разбивая поверхность соленоида на бесконечно тонкие «колечки» и суммируя вклады всех колечек (то есть нам в таком подходе придется выполнить интегрирование). Без вычисления приведем результат: вблизи оси соленоида (при \rho \ll r ) и при z \ll r B_{\parallel}(z, \rho) как функция координаты z убывает по закону B_{\parallel}(z, \rho) = \frac{1}{2} B_{in} - \frac{\rho}{2} \frac{d B_{\parallel}}{d z} . Нам известно, что магнитный поток через бесконечно тонкий цилиндр высотой dz радиусом r , ось которого совпадает с осью соленоида, равен нулю. Значит, «входящий» через нижнее основание поток равен «выходящему» через верхнее основание и боковую поверхность. В силу симметрии модуль B_{\perp} одинаков на всей боковой поверхности, и поэтому B_{\parallel}(z) \pi \rho^2 = B_{\parallel}(z+dz) \pi \rho^2 + B_{\perp} 2 \pi \rho dz \Rightarrow B_{\perp} = - \frac{B_{\parallel}(z+dz) - B_{\parallel}(z)}{dz} \frac{\rho}{2} = - \frac{\rho}{2} \frac{d B_{\parallel}}{dz} = + \frac{B_{in} \rho}{4 r}.

Воспользуемся этим результатом для решения примера, посвященного интересному явлению – магнитной левитации.

Пример 3: Над торцом длинного соленоида, ток которого создает внутри него поле с индукцией B_{in} , на малой по сравнению с радиусом r высоте h зависло в горизонтальном положении колечко радиуса a \ll r с массой m . Ось колечка совпадает с вертикальной осью соленоида. Найти силу постоянного тока в колечке, при которой это происходит.

Решение: Заметим, что известная нам вертикальная компонента поля создает действующие на элементы колечка силы Ампера, лежащие в плоскости кольца, то есть «сжимающие» или «растягивающие» кольцо, но не противодействующие силе тяжести. Режим «магнитной левитации» обеспечивают колечку силы Ампера, создаваемые перпендикулярной оси составляющей индукции.

С учетом полученного выше результата легко можно найти, что вертикальная компонента силы Ампера, действующая на ток I в колечке: F_{\parallel} = I B_{\perp} 2 \pi a = I \frac{B_{in} a}{4 r} 2 \pi a = \frac{\pi}{2 r} B_{in} a^2 I . Эта сила уравновешивает силу тяжести колечка, если I = \frac{2 m g r}{\pi B_{in} a^2} .