Просто движение Часть 1: Просто движение

Задача 2

Условие

Беговые дорожки стадиона МФТИ - это 4 дорожки шириной d= 1,22 м каждая. Дорожки состоят из двух прямолинейных участков длины l=84,39 м и двух участков в виде полуокружностей радиуса R. Радиус траектории атлета или эффективный радиус на первой дорожке R_{1}=36,80 м.

1) Найдите эффективную длину одного круга первой дорожки L_{1} .

2) Определите на каких расстояниях \Delta l_{12}, \Delta l_{23}, \Delta l_{34} должны располагаться линии стартов на различных дорожках на прямолинейных участках, чтобы длины дистанций в 3 круга совпадали при условии финиша на линии старта первой дорожки.

3) Какие значения может иметь средняя скорость атлета, пробежавшего 6 кругов по первой дорожке, если он определял время своего забега по стадионным часам (с точностью до минуты)? Стартовал атлет в 13:00, а финишировал в 13:13. Выразите максимальную и минимальную средние скорости и в км/ч, и в м/с.

Примечание: длина окружности радиуса R равна 2 \pi R , где \pi= 3,1416.

image.png

Решение

1) Эффективная длина 1 дорожки

\begin{gathered}

L_{1}=2 l+2 \cdot \frac{2 \pi R_{1}}{2}=2 l+2 \pi R_{1} \\

L_{1}=2 \cdot 84,39+3,146 \cdot 2 \cdot 36,8 \approx 400 м

\end{gathered} 2) Эффективная длина 2 дорожки

L_{2}=2 l+2 \pi\left(R_{1}+d\right)=2 l+2 \pi R_{1}+2 \pi d. Длины дорожек различаются только на криволинейных участках: \Delta l_{12}=3\left(L_{2}-L_{1}\right)=3\left(2 \pi\left(R_{1}+d\right)-2 \pi R_{1}\right)=3 \cdot 2 \pi d=6 \pi d =6 \cdot 3,1416 \cdot 1,22 \approx 23 м.

Эффективная длина 3 дорожки

\begin{gathered}

L_{3}=2 l+2 \pi\left(R_{1}+2 d\right)=2 l+2 \pi R_{1}+4 \pi d, \\

\Delta l_{23}=\left(L_{3}-L_{2}\right)=3\left(2 \pi R_{1}+4 \pi d\right)-(2 \pi R 1+2 \pi d)=6 \pi d \approx 23 м .

\end{gathered} Легко понять, что \Delta l_{34} \approx 23 м .

3) Показания часов могут соответствовать следующим моментам времени

\begin{aligned}

& \max 13: 00.0000 \rightarrow 13: 13.5999 \rightarrow 14 \text { мин }=t_{\max}; \\

& \min 13: 00.5999 \rightarrow 13: 12.0000 \rightarrow 12 \text { мин }=t_{\min}.

\end{aligned} Длина дистанции

\begin{gathered}

S=6 \cdot L_{1}=2400 м . \\

\vartheta_{\min }=\frac{2400 м }{14 \cdot 60 с } \approx 2,86 \frac{ м }{ с } \text { или } \vartheta_{\min }=\frac{2,4 \text { км }}{\frac{14}{60} ч } \approx 10,3 \frac{\text { км }}{ км }; \\

\vartheta_{\max }=\frac{2400 м }{12 \cdot 60 с } \approx 3,33 \frac{ м }{ с } \text { или } \vartheta_{\max }=\frac{2,4 \text { км }}{\frac{12}{60} ч } \approx 12 \frac{\text { км }}{ ч }.

\end{gathered} Ответ 1) L \approx 400 м ; 2) \Delta l_{12}=\Delta l_{23}=\Delta l_{34}=23 м ; 3) \vartheta_{\min } \approx 2,86 \frac{ м }{ с } \approx 10,3 \frac{ км }{ ч } , \vartheta_{\max } \approx 3,33 \frac{ м }{ с } \approx 12 \frac{ км }{ ч } .