Закон сложения скоростей Часть 1: Закон сложения скоростей

Задача 1

Условие

Два одинаковых плотно прижатых друг к другу цилиндра вращаются вокруг своих осей в разные стороны как показано на рисунке. В верхней точке правого цилиндра сидит клоп. Он двигается со скоростью \vartheta = 1 см/с относительно цилиндра, оставаясь неподвижным относительно земли. В верхней точке левого цилиндра сидит таракан. Он начинает двигаться со скоростью 2\vartheta (также относительно цилиндра) по направлению к клопу. Сколько времени понадобится таракану, чтобы добраться до клопа? Длина окружности цилиндра равна L = 30 см.

10 Решение

1) т.к. К остается неподвижным относительно земли, то u = \vartheta = 1 \frac{см}{с} - скорость \quad вращения \quad цилиндра

2) т.к. цилиндры плотно прижаты, то скорость второго цилиндра тоже u = 1 \frac{см}{с}

3) Пока Т бежит по левому цилиндру, то

А) его скорость 2\vartheta - u = 2\vartheta - \vartheta = \vartheta Б) он должен преодолеть S = \frac{L}{4} В) за время t_1 = \frac{L}{4\vartheta}

4) Когда Т переползет на правый цилиндр

А) его скорость 2\vartheta + u = 2\vartheta + \vartheta = 3\vartheta Б) он преодолеет \frac{L}{4} В) за время t_2 = \frac{L}{4 \cdot 3\vartheta}

5) t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{3L}{12\vartheta} + \frac{L}{12\vartheta} = \frac{4L}{12\vartheta} = \frac{L}{3\vartheta} = \frac{30 см}{3 \cdot 1 \frac{см}{с}} = 10 с

Ответ 10 с

Задача 2

Условие

Британские учёные-биологи вывели новый быстрорастущий сорт бамбука. Согласно их измерениям, стебли этого растения растут вверх с постоянной скоростью 5 см/ч в светлое время суток (c 4:00 утра до 8:00 вечера) и совсем не растут ночью (с 8:00 вечера до 4:00 утра). Однажды неутомимая улитка Дуглас решил забраться повыше и начал ползти вверх по стеблю бамбука со скоростью 15 см/ч относительно стебля. Забравшись на высоту 2 м над землёй, Дуглас сразу развернулся и пополз вниз с той же скоростью относительно стебля. В какой день и час Дуглас спустится обратно на землю, если он начал своё путешествие в понедельник в 4 утра?

Решение

1) С 4.00 до 20.00 \to 16 часов светлое время суток

2) Общая скорость относительно земли \vartheta_{вверх} = \vartheta + u = 5 \frac{см}{ч} + 15 \frac{см}{ч} = 20 \frac{см}{ч}

11 3) Время подъема на нужную высоту t_{вверх} = \frac{h}{\vartheta_{вверх}} = \frac{2 м}{20 \frac{см}{ч}} = \frac{200 см}{20 \frac{см}{ч}} = 10 ч Из 16 часов, когда бамбук растет у улитки есть 6 часов светлого время суток, в течение которых бамбук еще растет, а улитка уже ползет вниз.

4) Скорость спуска в светлые 6 ч \vartheta_{вниз} = u - \vartheta = 15 \frac{см}{ч} - 5 \frac{см}{ч} = 10 \frac{см}{ч}

12 За светлое время суток улитка проползет вниз h_{вниз} = \vartheta_{вниз} \cdot 6 ч = 10 \frac{см}{ч} \cdot 6 ч = 60 см

К концу светлого дня улитке еще нужно проползти вниз h_{оставш1} = 200 см - 60 см = 140 см

5) В ночное время ( t_{ночь} = 8 часов ) улитка проползет h_{ночью} = 15 \frac{см}{ч} \cdot 8 ч = 120 см h_{оставш2} = 140 см - 120 см = 20 см

6) Оставшиеся 20 см будет ползти снова днем (вторник) с 4.00 t_{ост2} = \frac{20 см}{10 \frac{см}{ч}} = 2 ч

Ответ улитка спустится во вторник в 6 ч утра