Закон сложения скоростей Часть 2: Закон сложения скоростей

Задача 5

Условие

В часы пик на движущемся вверх с неизвестной скоростью u эскалаторе метрополитена на каждой ступеньке находятся по два человека. Справа люди просто стоят, а слева — поднимаются с неизвестной постоянной скоростью \vartheta . Человек, стоящий справа, подсчитал, что за время его подъёма по эскалатору, слева от него успевают пройти N_1 людей. Человек, идущий по эскалатору, подсчитал, что за время его подъёма, он проходит мимо N_2 стоящих людей.

1. Что больше: N_1 или N_2 ?

2. Сколько людей N одновременно находятся на эскалаторе? Ответ необходимо выразить через величины N_1 и N_2 .

17 Решение

u — скорость эскалатора; \vartheta — скорость людей, стоящих слева, относительно эскалатора. Люди справа – стоят. Стоящий справа – прошло мимо N_1 . Стоящий слева – прошел мимо N_2 . l_0 — длина одной ступеньки. N_0 — число ступенек.

1) t_{стоя} = \frac{l}{u} = \frac{l_0 N_0}{u} \quad (1) - время \quad движение \quad стоящего t_{ид} = \frac{l}{u + \vartheta} = \frac{l_0 N_0}{(u + \vartheta)} \quad (2) - время \quad движения \quad идущего

2) Относительно стоящего человека мимо проходит колонна людей со скоростью \vartheta , длина этой колонны \vartheta \cdot t_{стоя} = \vartheta \cdot \frac{l_0 N_0}{u} Значит людей в этой колонне N_1 = \frac{длина \quad колонны}{длина \quad ступеней} = \frac{\vartheta \frac{l_0 N_0}{u}}{l_0} N_1 = \vartheta \frac{N_0}{u} \quad (3)

3) В СО идущего слева человека, справа от него во встречном к нему направлении идет колонна людей со скоростью \vartheta . Длина этой колонны \vartheta \cdot t_{ид} = \vartheta \frac{N_0 l_0}{(u + \vartheta)} Значит N_2 = \frac{длина \quad колонны}{длина \quad ступеней} = \frac{\vartheta N_0}{(u + \vartheta)} \quad (4)

Если сравнить N_1 = \vartheta \frac{N_0}{u} \geq N_2 = \frac{\vartheta N_0}{(u + \vartheta)}

Из (3) и (4) выразим \vartheta

Из (3) \vartheta = \frac{N_1 u}{N_0} Подставим в (4) N_2(u + \vartheta) = \vartheta N_0 N_2 u + N_2 \vartheta = \vartheta N_0 N_2 u = \vartheta(N_0 - N_2) N_2 u = \frac{N_1 u}{N_0} (N_0 - N_2) N_2 N_0 = N_1(N_0 - N_2) N_1 N_2 = N_0(N_1 - N_2) N_0 = \frac{N_1 N_2}{N_1 - N_2} - количество \quad ступеней Количество людей на эскалаторе N = 2N_0 = \frac{2N_1 N_2}{N_1 - N_2}

Ответ N_1 > N_2 ; \frac{2N_1 N_2}{N_1 - N_2}