Относительное движение Часть 2: Относительное движения

Задача 4

Условие

Между источником сигнала S и приёмником Р перпендикулярно соединяющей их прямой движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями две пластины длиной L = 1 м. Если сигнал по пути от источника к приёмнику проходит только через одну из пластин, то приёмник зажигает жёлтую лампочку, если через две — то красную. В некоторый момент времени на t_1 = 3 с зажглась жёлтая лампочка, затем t_2 = 3 с горела красная, а потом в течение t_3 = 1 с — опять жёлтая. Определите, за какое время \tau одна пластина проезжает мимо другой.

Возможное решение

Рассмотрим два возможных случая.

А) Пусть первая пластина (которая начинает пересекать границу) будет очень быстрой.

10 За время t_1 первая пройдет расстояние l_1 = \vartheta_1 t_1 . За время t_2 первая пройдет L-l_1 = \vartheta_1 t_2 . Отсюда L = \vartheta_1(t_1+t_2) , и \vartheta_1 = \frac{L}{t_1+t_2} . За время t_2 вторая пройдет l_2 = \vartheta_2 t_2 . За время t_3 вторая пройдет L-l_2 = \vartheta_2 t_3 . Отсюда L = \vartheta_2(t_2+t_3) , и \vartheta_2 = \frac{L}{t_2+t_3} .

Время, за которое одна пластина проезжает мимо другой (преодолевая расстояние 2L с относительной скоростью \vartheta_1+\vartheta_2 ): \tau_a = \frac{2L}{\vartheta_1+\vartheta_2} = \frac{2L}{\frac{L}{t_1+t_2} + \frac{L}{t_2+t_3}} = \frac{2}{\frac{1}{t_1+t_2} + \frac{1}{t_2+t_3}} \tau_a = \frac{2(t_1+t_2)(t_2+t_3)}{t_2+t_3+t_1+t_2} = \frac{2(t_1+t_2)(t_2+t_3)}{t_1+2t_2+t_3} Подставим значения: \tau_a = \frac{2(3+3)(3+1)}{3+2\cdot3+1} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 4}{10} = \frac{48}{10} = 4,8 с

Б) Пусть первая начинает пересекать границу и будет очень медленной.

11 За время t_1 первая пройдет l_1 = \vartheta_1 t_1 . За время t_2 первая пройдет l_2 = \vartheta_1 t_2 . Вторая успеет уйти с линии сигнала: L = \vartheta_2 t_2 . Отсюда \vartheta_2=L/t_2 . За время t_3 первая покидает линию сигнала: L - l_1 - l_2 = \vartheta_1 t_3 . L - \vartheta_1 t_1 - \vartheta_1 t_2 = \vartheta_1 t_3 \implies L = \vartheta_1(t_1+t_2+t_3) \vartheta_1 = \frac{L}{t_1+t_2+t_3} Время проезда: \tau_b = \frac{2L}{\vartheta_1+\vartheta_2} = \frac{2L}{\frac{L}{t_1+t_2+t_3} + \frac{L}{t_2}} = \frac{2}{\frac{1}{t_1+t_2+t_3} + \frac{1}{t_2}} \tau_b = \frac{2 t_2 (t_1+t_2+t_3)}{t_2 + t_1+t_2+t_3} = \frac{2 t_2 (t_1+t_2+t_3)}{t_1+2t_2+t_3} Подставим значения: \tau_b = \frac{2 \cdot 3 (3+3+1)}{3+2\cdot3+1} = \frac{6 \cdot 7}{10} = \frac{42}{10} = 4,2 с

Ответ 4,8 с; 4,2 с.