Относительное движение Часть 2: Относительное движения

Задача 5

Условие

Две балконные двери шириной a_1 и a_2 начинают передвигать к противоположным стенам со скоростями \vartheta_1 и \vartheta_2 соответственно (рис.1). На рис.3 изображён качественный график зависимости величины области пересечения дверей l (рис.2) от времени t . С помощью графика найдите численные значения величин a_1, a_2, \vartheta_1 и \vartheta_2 . Примечание: касаясь противоположной стены, дверь останавливается. График построен без соблюдения масштаба. l_0 = 1,8 м, t_1 = 6 с, t_2 = 15 с, t_0 = 30 с.

12 Возможное решение

1. Максимальное перекрытие l=l_0=1,8 м означает, что двери полностью перекрываются. Это происходит, когда меньшая дверь полностью проходит мимо большей. Следовательно, ширина меньшей двери равна l_0 . a_2 = 1,8 м

2. На первом участке графика (до t_1=6 с) обе двери движутся. Их относительная скорость (скорость сближения) равна \vartheta_1+\vartheta_2 . \vartheta_1 + \vartheta_2 = \frac{\Delta l_I}{\Delta t_I} = \frac{l_0 - 0}{t_1} = \frac{1,8 м}{6 с} = 0,3 \frac{м}{с}

3. На втором участке (от t_1=6 с до t_2=15 с) график имеет другой наклон, что означает, что одна из дверей остановилась, коснувшись стены. В это время движется только вторая дверь, и она "выходит" из зоны перекрытия. Относительная скорость на этом участке равна скорости этой движущейся двери. На третьем участке (от t_2=15 с до t_0=30 с) перекрытие уменьшается с l_0 до 0. \vartheta_{отн III} = \frac{l_0}{t_0-t_2} = \frac{1,8 м}{30с-15с} = \frac{1,8}{15} = 0,12 \frac{м}{с} На этом участке одна дверь уже стоит, а вторая все еще движется.

4. По условию \vartheta_{отн} изменяется только при остановке одной из дверей, значит в промежутке от t_1 до t_2 одна из дверей остановилась. Скорость одной из дверей равна разнице относительных скоростей: \Delta\vartheta = 0,3 - 0,12 = 0,18 \frac{м}{с} Значит, скорости дверей равны 0,18 м/с и 0,12 м/с.

5. Предположим, что \vartheta_1=0,18 м/с, а \vartheta_2=0,12 м/с. Первая дверь проходит до стены расстояние S=a_2=1,8 м за время: T_1 = \frac{1,8м}{0,18м/с} = 10 с Это возможно, так как 6с < 10с < 15с . Вторая дверь движется все время наблюдения t_0=30 с. За это время она проходит путь, равный ширине первой двери a_1 : a_1 = \vartheta_2 \cdot t_0 = 0,12 \frac{м}{с} \cdot 30с = 3,6 м

6. Предположим наоборот, что \vartheta_1=0,12 м/с, а \vartheta_2=0,18 м/с. Первая дверь проходит до стены расстояние S=a_2=1,8 м за время: T_1 = \frac{1,8м}{0,12м/с} = 15 с Это тоже возможно. Но вторая, более быстрая дверь, будет двигаться все время t_0 , а такого быть не может, так как она упрется в стену раньше. Этот вариант нам не подходит.

Ответ \vartheta_1=0,18 м/с; \vartheta_2=0,12 м/с; a_1=3,6 м; a_2=1,8 м.