Пробки Часть 2: Пробки

Задача 4

Условие

На дороге длиной L = 50 км между городами А и В образовалась автомобильная пробка протяжённостью l = 10 км. От города А до пробки машины едут со скоростью \vartheta_1 = 50 км/ч при плотности потока \lambda_1 = 55 авто/км, в пробке — с некоторой скоростью \vartheta при плотности потока \lambda = 220 авто/км, а после пробки — со скоростью \vartheta_2 = 100 км/ч при плотности потока \lambda_2 = 30 авто/км. При условии, что протяжённость пробки не меняется, определите:

1) С какой скоростью u и в каком направлении смещается пробка?

2) С какой скоростью \vartheta едут автомобили в пробке?

3) За какое время \tau доедет автомобиль из города А до города В, если в момент его старта пробка находилась посередине между городами?

Решение

Теория: Если знаем скорость авто \vartheta_0 и плотность потока \lambda_0 на произвольном участке, то за единицу времени \Delta t = 1 через произвольную границу проезжает N_0 = \vartheta_0 \Delta t \cdot \lambda_0 автомобилей [N_0] = 1 \frac{км}{ч} \cdot 1 ч \cdot \frac{авто}{км} = авто

5 1) Т.к. протяженность пробки постоянна, то ее «голова» и «хвост» движутся с одинаковой скоростью u . Предположим, что пробка движется от B к A.

2) Перейдем в систему отсчета, связанную с пробкой, тогда \vartheta_1 + u — скорость приближения авто к пробке; \vartheta_2 + u — удаляются авто от головы пробки; \vartheta + u — скорость авто в пробке

3) Количество авто, пересекающих границу хвоста пробки в единицу времени \lambda_1 (\vartheta_1 + u) = \lambda (\vartheta + u) \quad (1) Количество авто, пересекающих границу пробки в голове \lambda_2 (\vartheta_2 + u) = \lambda (\vartheta + u) \quad (2)

Из (1) и (2) \lambda_1 \vartheta_1 + \lambda_1 u = \lambda_2 \vartheta_2 + \lambda_2 u \lambda_1 u - \lambda_2 u = \lambda_2 \vartheta_2 - \lambda_1 \vartheta_1 u = \frac{\lambda_2 \vartheta_2 - \lambda_1 \vartheta_1}{\lambda_1 - \lambda_2} = 10 \frac{км}{ч}

Из (1) \lambda_1 (\vartheta_1 + u) = \lambda (\vartheta + u) \vartheta = \frac{\lambda_1 (\vartheta_1 + u)}{\lambda} - u = \frac{55(50 + 10)}{220} - 10 = 5 \frac{км}{ч} Т.к. u > 0 , то направление движения пробки выбрано правильно!

4) Чтобы авто из А попал в В \tau_{A \to B} = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 Где \tau_1 — время до попадания в пробку, \tau_2 — время в пробке, \tau_3 — время с момента выезда из пробки.

\tau_1 = \frac{L - l}{2(\vartheta_1 + u)} = 20 мин \tau_2 = \frac{l}{\vartheta + u} = 40 мин \tau_3 = \frac{u(\tau_1 + \tau_2)}{\vartheta_2} + \frac{L - l}{2\vartheta_2} = 18 мин (Примечание: в формуле для \tau_3 первое слагаемое соответствует расстоянию, на которое сдвинется пробка влево, деленному на скорость \vartheta_2 ).

\tau_{A \to B} = 20 мин + 40 мин + 18 мин = 78 мин Ответ 78 мин