Пробки Часть 2

Задача 5 Условие Поток автомашин движется по четырёхполосной магистрали. При этом средняя скорость автомобиля равна 60 км/ч. Средняя длина автомобиля 4 метра. Вблизи места дорожно-транспортного происшествия количество полос, доступных для движения, уменьшается до двух, а скорость автомашин уменьшается до 6 км/ч. На рис. приведена схема, изображенная без соблюдения масштаба. Если среднее расстояние между автомобилями при движении по магистрали x небольшое, то перед ДТП образуется пробка — область, в которой машины движутся вплотную друг к друг с маленькой скоростью. 1) При каком среднем расстоянии x между автомобилями при их движении по магистрали произошедшее ДТП не приведёт к возникновению протяжённой пробки? 2) За полтора километра до ДТП на трассе располагается перекрёсток со светофором. За какое время после возникновения ДТП необходимо ликвидировать его последствия для дорожного движения, чтобы это не привело к затору на перекрёстке, если x = 16 м? Решение 1) Пусть за время $\Delta t$ c 1 полосы к месту ДТП подъезжают $N_{01}$ авто находящиеся на расстоянии $$ L_1 = (l + x)N_{01} = \vartheta_1 \Delta t $$ где $x$ — расстояние между авто на магистрали $$ N_{01} = \frac{\vartheta_1 \Delta t}{l + x} $$ Тогда с 4-х полос $$ N_1 = 4 \frac{\vartheta_1 \Delta t}{l + x} $$ За это время выезжают с 1 полосы: $$ L_2 = (l + y)N_{02} = \vartheta_2 \Delta t $$ где $y$ — расстояние между авто в пробке $$ N_{02} = \frac{\vartheta_2 \Delta t}{l + y} $$ $$ N_2 = 2 \frac{\vartheta_2 \Delta t}{l + y} $$ будем считать, что $y \to 0$, т. е. машины расположены вплотную. Затора не будет, если выезжает не меньше, чем выезжает $$ N_1 \leq N_2 $$ $$ \frac{4 \vartheta_1 \Delta t}{l + x} \leq \frac{2 \vartheta_2 \Delta t}{l + y} $$ т. к. $y \to 0$ $$ \frac{2 \vartheta_1}{l + x} = \frac{\vartheta_2}{l} $$ (Примечание: в тексте стоит знак равенства в одной из строк, потом неравенство). $$ \frac{2 \vartheta_1}{l + x} \leq \frac{\vartheta_2}{l} $$ $$ \vartheta_2(l + x) \geq 2 \vartheta_1 l $$ $$ \vartheta_2 l + \vartheta_2 x \geq 2 \vartheta_1 l $$ $$ \vartheta_2 x \geq l(2\vartheta_1 - \vartheta_2) $$ $$ x \geq l \left( \frac{2\vartheta_1}{\vartheta_2} - 1 \right) $$ $$ x \geq 4 \left( \frac{2 \cdot 60 \frac{км}{ч}}{6 \frac{км}{ч}} - 1 \right) $$ $$ x \geq 76 м $$ 2) Найдем скорость движения пробки, если $x = 16$ м по условию. Количество машин въезжающих в пробку, должно быть равно количеству машин выезжающих из пробки в СО связанной с границей пробки. Пусть скорость пробки $u$ и она направлена против скорости авто. Пусть $u$ – скорость нарастания пробки. А) на 1 полосе $u \Delta t$ – пробка займет расстояние за промежуток времени $\Delta t$ Б) на 4 полосах $4u \Delta t$ В) тогда количество машин в пробке, если $l$ — расстояние между машинами (машины плотно) $$ (*) \quad \Delta N = \frac{4u \Delta t}{l} $$ Г) с другой стороны машин в пробке $$ (**) \quad \Delta N = N_1 - N_2 = \frac{4 \vartheta_1 \Delta t}{l + x} - \frac{2 \vartheta_2 \Delta t}{l + y} $$ $$ u = \left( \frac{4 \vartheta_1}{l + x} - \frac{2 \vartheta_2}{l} \right) \frac{l}{4} $$ $$ = \left( \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 10^{-3} + 16 \cdot 10^{-3}} - \frac{2 \cdot 6}{4 \cdot 10^{-3}} \right) \frac{4 \cdot 10^{-3}}{4} $$ $$ = \left( \frac{4 \cdot 60 \cdot 10^3}{20} - \frac{12 \cdot 10^3}{4} \right) \frac{4 \cdot 10^{-3}}{4} = 9 \frac{км}{ч} $$ Д) т.к. по условию $$ \Delta S = 1,5 км $$ то $$ t = \frac{1,5 км}{9 \frac{км}{ч}} = 0,16 \dots 6 ч = 10 мин $$ Ответ $\geq 76$ м; $9 \frac{км}{ч}$; 10 мин