Просто движение Часть 2

Задача 4 Условие Между источником сигнала S и приёмником P перпендикулярно прямой, соединяющей их, движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями две пары связанных тонкой нитью пластин. Если сигнал по пути от источника к приёмнику проходит через одну из пластин, приёмник зажигает на дисплее жёлтую лампочку, если через обе - красную. В момент прохождения пластин мимо источника сначала на $t_{1}=1$ с на дисплее зажглась красная лампочка, затем $t_{2}=2$ с горела жёлтая, а потом в течение $t_{3}=6$ с - опять красная. Ни до, ни после этого лампочки не загорались. Известно, что первые пластины и справа и слева имеют длину $L=30$ см, вторая пластина справа - длину $3 L$. Считайте, что сигнал от источника к приёмнику передаётся мгновенно. 1) Определите длину $L_{x}$ второй пластины слева, а также длины соединяющих пластины нитей ($l_{1}$ левой и $l_{2}$ - правой). Длины нитей отличны от нуля. 2) Найдите скорости движения левых $\left(\vartheta_{1}\right)$ и правых $\left(\vartheta_{2}\right)$ пластин. Обратите внимание! На рисунке приведено схематичное изображение, которое может не соответствовать пропорциям из условия. Паузы между переключениями лампочек отсутствуют. Решение ЧАСТЬ А 1) Пусть $\vartheta_{2}>\vartheta_{1}$ Пусть правая пересекла границу за $t_1$, тогда $\vartheta_2\Delta t_1 = L \quad (1)$. 2) Т.к. после красного загорелся желтый $\rightarrow$ остатки левой пересекают границу $\rightarrow$ Путь на это потребуется какое-то время $\tau_{1}$. 3) После $\tau_{1}$ сразу к границе подходит 2 правая пластина (3L) и только она в течение какого-то времени $\tau_{2}$ препятствует сигналу $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ - горит желтый свет, значит: $$ \tau_{1}+\tau_{2}=\Delta t_{2} . \quad (2) $$ 4) Сразу после $\tau_{2}$ к границе подошла вторая левая пластина ($L_{x}$) и, как только K и M начали движение навстречу друг другу через границу, загорается красный свет и горит $\Delta t_{3}$, пока точка M не пройдет расстояние $L_{x}$ Все время движения второй правой пластины составит ($\tau_{2}+\Delta t_{3}$), значит $$ 3 L=\vartheta_{2}\left(\tau_{2}+\Delta t_{3}\right) . \quad (3) $$ Решим систему из (1), (2), (3) $$ \left\{\begin{array}{l} \vartheta_{2} \Delta t_{1}=L \\ \tau_{1}+\tau_{2}=\Delta t_{2} \\ 3 L=\vartheta_{2}\left(\tau_{2}+\Delta t_{3}\right) \end{array}\right. . $$ Из (1) и (2) $$ \begin{gathered} \vartheta_{2}\left(\tau_{2}+\Delta t_{3}\right)=3 \vartheta_{2} \Delta t_{1} \quad \Rightarrow \quad \tau_{2}+\Delta t_{3}=3 \Delta t_{1} \quad \Rightarrow \quad \tau_{2}=3 \Delta t_{1}-\Delta t_{3} \quad \Rightarrow \quad \tau_{2}=3 \cdot 1-6=-3 с. \end{gathered} $$ Значит что предположение $\vartheta_{2}>\vartheta_{1}$ - неверное. Повторим рассуждения для ситуации $\vartheta_{2} ЧАСТЬ Б 1) Пусть $\vartheta_{2}>\vartheta_{1}$, по условию первые пластинки достигают границы одновременно. $$ \vartheta_1\Delta t_1 = L. \quad (1) $$ 2) Красный свет горит $\Delta t_{1}$ пока первая левая пластина пересекает границу, сразу после $\Delta t_{1}$ она перестает пересекать границу, но еще $\tau_{1}$ остатки более медленной первой правой пластинки продолжают пересекать границу и загорается желтый свет. $$ \vartheta_2(\Delta t_1 + \tau_1 ) = L \quad - \quad для первой правой. \quad (2) $$ 3) В момент, когда первая правая пластинка полностью проходит границу, к границе своей точкой С подходит вторая левая пластинка $\left(L_{x}\right)$ и какое-то время $\tau_{2}$ только она препятствует сигналу. $$ \begin{gathered} L_{x}=\vartheta_{1}\left(\tau_{1}+\Delta t_{3}\right) \quad (3) \\ \tau_{1}+\tau_{1}=\Delta t_{2} \quad (4) \end{gathered} $$ 4) Через $\tau_{2}$ к границе подходит вторая правая пластинка ($3L$) и загорается красный. Остатки второй левой и вся вторая правая пластинки одновременно покидают границу, т.к. в условии «ни до, ни после лампочки не загораются. Т.к. за время $\Delta t_{3}$ вторая правая пластинка прошла $3L$, то $$ \vartheta_{2} \Delta t_{3}=3 L. \quad (5) $$ Из (1): $$ \vartheta_{1} \cdot 1 с =0,3 м \rightarrow \vartheta_{1}=0,3 \frac{ м }{ с }=30 \frac{ см }{ с }. $$ Из (5): $$ \vartheta_{2} \cdot 6 с =0,9 м \rightarrow \vartheta_{2}=\frac{0,9 м }{6 с }=0,15 \frac{ м }{ с }=15 \frac{ см }{ с }. $$ Из (2): $$ \tau_{1}=\frac{l}{\vartheta_{2}}-\Delta t_{1}=\frac{0,3}{0,15}-1=1 с. $$ Из (4): $$ \tau_{2}=\Delta t_{2}-\tau_{1}=2-1=1 с. $$ Из (3): $$ L_{x}=\vartheta_{1}\left(\tau_{2}+\Delta t_{3}\right)=0,3(1+6)=2,1 м =210 см. $$ ЧАСТЬ В $$ \begin{gathered} l_{1}=\vartheta_{1}\left(t_{1}+t_{2}+t_{3}\right)-L-L_{x}=0,3(1+2+6)-0,3 м -2,1 м =0,3 м; \\ l_{2}=\vartheta_{2}\left(t_{1}+t_{2}+t_{3}\right)-L-3 L =0,15 \cdot 9-4 \cdot 0,3=0,15 м. \end{gathered} $$ Ответ $L_{x}=2,1 м$, $l_{1}=0,3 м$, $l_{2}=0,15 м$, $\vartheta_{1}=0,3 \frac{ м }{ с }$, $\vartheta_{2}=0,15 \frac{ м }{ с }$.