Просто движение Часть 2: Просто движение

Задача 4

Условие

Между источником сигнала S и приёмником P перпендикулярно прямой, соединяющей их, движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями две пары связанных тонкой нитью пластин. Если сигнал по пути от источника к приёмнику проходит через одну из пластин, приёмник зажигает на дисплее жёлтую лампочку, если через обе - красную. В момент прохождения пластин мимо источника сначала на t_{1}=1 с на дисплее зажглась красная лампочка, затем t_{2}=2 с горела жёлтая, а потом в течение t_{3}=6 с - опять красная. Ни до, ни после этого лампочки не загорались. Известно, что первые пластины и справа и слева имеют длину L=30 см, вторая пластина справа - длину 3 L . Считайте, что сигнал от источника к приёмнику передаётся мгновенно.

1) Определите длину L_{x} второй пластины слева, а также длины соединяющих пластины нитей ( l_{1} левой и l_{2} - правой). Длины нитей отличны от нуля.

2) Найдите скорости движения левых \left(\vartheta_{1}\right) и правых \left(\vartheta_{2}\right) пластин.

Обратите внимание! На рисунке приведено схематичное изображение, которое может не соответствовать пропорциям из условия. Паузы между переключениями лампочек отсутствуют.

27 Решение

ЧАСТЬ А

1) Пусть \vartheta_{2}>\vartheta_{1}

Пусть правая пересекла границу за t_1 , тогда \vartheta_2\Delta t_1 = L \quad (1) .

28 2) Т.к. после красного загорелся желтый \rightarrow остатки левой пересекают границу \rightarrow Путь на это потребуется какое-то время \tau_{1} .

29 3) После \tau_{1} сразу к границе подходит 2 правая пластина (3L) и только она в течение какого-то времени \tau_{2} препятствует сигналу

30 \tau_{1} и \tau_{2} - горит желтый свет, значит:

\tau_{1}+\tau_{2}=\Delta t_{2} . \quad (2) 4) Сразу после \tau_{2} к границе подошла вторая левая пластина ( L_{x} ) и, как только K и M начали движение навстречу друг другу через границу, загорается красный свет и горит \Delta t_{3} , пока точка M не пройдет расстояние L_{x}

31 Все время движения второй правой пластины составит ( \tau_{2}+\Delta t_{3} ), значит

3 L=\vartheta_{2}\left(\tau_{2}+\Delta t_{3}\right) . \quad (3) Решим систему из (1), (2), (3)

\left\{\begin{array}{l}

\vartheta_{2} \Delta t_{1}=L \\

\tau_{1}+\tau_{2}=\Delta t_{2} \\

3 L=\vartheta_{2}\left(\tau_{2}+\Delta t_{3}\right)

\end{array}\right. . Из (1) и (2) \begin{gathered}

\vartheta_{2}\left(\tau_{2}+\Delta t_{3}\right)=3 \vartheta_{2} \Delta t_{1} \quad \Rightarrow \quad

\tau_{2}+\Delta t_{3}=3 \Delta t_{1} \quad \Rightarrow \quad

\tau_{2}=3 \Delta t_{1}-\Delta t_{3} \quad \Rightarrow \quad

\tau_{2}=3 \cdot 1-6=-3 с.

\end{gathered}

Значит что предположение \vartheta_{2}>\vartheta_{1} - неверное.

Повторим рассуждения для ситуации \vartheta_{2}<\vartheta_{1} ю

ЧАСТЬ Б

1) Пусть \vartheta_{2}>\vartheta_{1} , по условию первые пластинки достигают границы одновременно.

32 \vartheta_1\Delta t_1 = L. \quad (1) 2) Красный свет горит \Delta t_{1} пока первая левая пластина пересекает границу, сразу после \Delta t_{1} она перестает пересекать границу, но еще \tau_{1} остатки более медленной первой правой пластинки продолжают пересекать границу и загорается желтый свет.

33 \vartheta_2(\Delta t_1 + \tau_1 ) = L \quad - \text {для первой правой.} \quad (2) 3) В момент, когда первая правая пластинка полностью проходит границу, к границе своей точкой С подходит вторая левая пластинка \left(L_{x}\right) и какое-то время \tau_{2} только она препятствует сигналу.

34 \begin{gathered}

L_{x}=\vartheta_{1}\left(\tau_{1}+\Delta t_{3}\right) \quad (3) \\

\tau_{1}+\tau_{1}=\Delta t_{2} \quad (4)

\end{gathered} 4) Через \tau_{2} к границе подходит вторая правая пластинка ( 3L ) и загорается красный. Остатки второй левой и вся вторая правая пластинки одновременно покидают границу, т.к. в условии «ни до, ни после лампочки не загораются.

35 Т.к. за время \Delta t_{3} вторая правая пластинка прошла 3L , то

\vartheta_{2} \Delta t_{3}=3 L. \quad (5) Из (1):

\vartheta_{1} \cdot 1 с =0,3 м \rightarrow \vartheta_{1}=0,3 \frac{ м }{ с }=30 \frac{ см }{ с }. Из (5):

\vartheta_{2} \cdot 6 с =0,9 м \rightarrow \vartheta_{2}=\frac{0,9 м }{6 с }=0,15 \frac{ м }{ с }=15 \frac{ см }{ с }. Из (2):

\tau_{1}=\frac{l}{\vartheta_{2}}-\Delta t_{1}=\frac{0,3}{0,15}-1=1 с. Из (4):

\tau_{2}=\Delta t_{2}-\tau_{1}=2-1=1 с. Из (3):

L_{x}=\vartheta_{1}\left(\tau_{2}+\Delta t_{3}\right)=0,3(1+6)=2,1 м =210 см.

ЧАСТЬ В \begin{gathered}

l_{1}=\vartheta_{1}\left(t_{1}+t_{2}+t_{3}\right)-L-L_{x}=0,3(1+2+6)-0,3 м -2,1 м =0,3 м; \\

l_{2}=\vartheta_{2}\left(t_{1}+t_{2}+t_{3}\right)-L-3 L =0,15 \cdot 9-4 \cdot 0,3=0,15 м.

\end{gathered}

Ответ L_{x}=2,1 м , l_{1}=0,3 м , l_{2}=0,15 м , \vartheta_{1}=0,3 \frac{ м }{ с } , \vartheta_{2}=0,15 \frac{ м }{ с } .