Относительное движения Часть 1: Относительное движения

Задача 1

Условие

Горит башня, причём возгорание произошло в двух местах: на 1/10 высоты башни и на L= 220м выше. Пламя распространяется вверх в s = 7 раз быстрее, чем вниз. Башня сгорела дотла за t_1 = 60 ч. Если бы L было в 2 раза больше, башня сгорела бы целиком за t_2 = 61 ч, а если бы в 2 раза меньше, то время бы не изменилось (60 ч). Чему была равна высота башни?

Возможное решение

2 Время сгорания башни

Время сгорания всей башни равно максимальному времени сгорания одного из трех ее участков (нижнего, среднего или верхнего). Пусть \vartheta — скорость распространения пламени вниз, тогда 7\vartheta — скорость вверх.

Случай 1: t_1 = 60 ч, L=220 м t_{н} = \frac{H/10}{\vartheta} = \frac{H}{10\vartheta} t_{ср} = \frac{L}{8\vartheta} = \frac{220}{8\vartheta} t_{в} = \frac{H - (H/10+L)}{7\vartheta} = \frac{9H/10 - 220}{7\vartheta}

Случай 2: Увеличим L в 2 раза, t_2 = 61 ч, L=440 м t_{н} = \frac{H}{10\vartheta} t_{ср} = \frac{440}{8\vartheta} t_{в} = \frac{9H/10 - 440}{7\vartheta}

Случай 3: Уменьшим L в 2 раза, t_3 = 60 ч, L=110 м t_{н} = \frac{H}{10\vartheta} t_{ср} = \frac{110}{8\vartheta} t_{в} = \frac{9H/10 - 110}{7\vartheta}

Рассуждаем

Представим, что дольше всех горел средний участок. Тогда t_1 = t_{ср} = 60 ч. Если средний участок увеличить в 2 раза (случай 2), то и время его горения должно увеличиться в 2 раза и стать 120 ч. Но по условию общее время стало 61 ч. Значит, это предположение неверно.

Представим, что дольше всех горел верхний участок. Тогда t_1 = t_{в} = 60 ч. Если средний участок уменьшить в 2 раза (случай 3), то верхний участок увеличится в размере, а значит, и время его горения должно увеличиться. Но по условию общее время не изменилось (60 ч). Значит, это предположение тоже неверно.

Следовательно, дольше всех горел нижний участок. Это означает, что время горения нижнего участка определяет общее время сгорания башни.

Таким образом, время горения нижнего участка всегда является максимальным из трех. t_{н} \ge t_{ср} \quad и \quad t_{н} \ge t_{в} Рассмотрим случаи 2 и 3. Так как при уменьшении L время не изменилось, значит, t_{н} и в этом случае было максимальным. А при увеличении L время изменилось, значит, максимальным стало время горения другого участка. Поскольку t_{н} не меняется, то в случае 2 максимальным стало время t_{ср} или t_{в} . Но так как t_{ср} увеличился, а t_{в} уменьшился, то именно средний участок стал гореть дольше всех. Значит, в случае 2: t_{ср} = 61 ч. \frac{440}{8\vartheta} = 61 \implies \vartheta = \frac{440}{8 \cdot 61} В случае 1 (и 3) дольше горел нижний участок: t_{н} = 60 ч. \frac{H}{10\vartheta} = 60 \implies H = 600\vartheta Подставим найденное \vartheta : H = 600 \cdot \frac{440}{8 \cdot 61} = \frac{60 \cdot 10 \cdot 440}{61 \cdot 8} \approx 541 м

Ответ 541 м.