Относительное движения Часть 1: Относительное движение

Задача 2

Условие

Если во время дождя поднимать ведро с постоянной вертикальной скоростью \vartheta , то оно заполнятся водой за время t_1 = 2 мин. Если это же ведро опускать со скоростью \vartheta , то время заполнения составит t_2 = 8 мин. За какое время заполнится неподвижное ведро? Ответ выразите в минутах, округлив до десятых.

Возможное решение

Пусть u — скорость падения капель, h - высота ведра, S - площадь сечения ведра, \rho_0 - плотность дождевого потока, \rho - плотность воды.

Ведро поднимается

3 Относительная скорость капель и ведра: u+\vartheta . Объем поступающей воды за время t_1 равен объему ведра. (u+\vartheta) \cdot t_1 \cdot S \cdot \rho_0 = h \cdot S \cdot \rho u+\vartheta = \frac{h\rho}{t_1\rho_0} \quad (1)

Ведро опускается

4 Относительная скорость капель и ведра: u-\vartheta . (u-\vartheta) \cdot t_2 \cdot S \cdot \rho_0 = h \cdot S \cdot \rho u-\vartheta = \frac{h\rho}{t_2\rho_0} \quad (2)

Неподвижное ведро

5 Скорость капель u . Искомое время t_3 . u \cdot t_3 \cdot S \cdot \rho_0 = h \cdot S \cdot \rho t_3 = \frac{h\rho}{u\rho_0} \quad (3) Сложим (1) и (2): (u+\vartheta) + (u-\vartheta) = \frac{h\rho}{t_1\rho_0} + \frac{h\rho}{t_2\rho_0} 2u = \frac{h\rho}{\rho_0} \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right) u = \frac{h\rho}{2\rho_0} \left( \frac{t_1+t_2}{t_1 t_2} \right) Подставим это выражение для u в формулу для t_3 : t_3 = \frac{h\rho}{\rho_0} \cdot \frac{1}{u} = \frac{h\rho}{\rho_0} \cdot \frac{2\rho_0}{h\rho} \left( \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2} \right) t_3 = \frac{2 t_1 t_2}{t_1+t_2} Подставим числовые значения: t_3 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 8}{2+8} = \frac{32}{10} = 3,2 мин

Ответ 3,2 мин.