Пробки Часть 1: Пробки

Задача 1

Условие

У проходной НИЯУ МИФИ образовалась очередь школьников, желающих принять участие в заключительном туре олимпиады «Росатом», длиной L = 80 метров. Каждую минуту первые n=8 человек из очереди проходят через проходную, а за это время в конец очереди приходят k = 4 новых человека. Через 40 минут очередь исчезла. С какой средней скоростью двигались люди, пока они находились в очереди? Ответ выразите в метрах в минуту. Сколько человек участвовало в олимпиаде? Считать, что каждый человек занимает в очереди одинаковое место.

Решение

1) Хвост очереди перемещается со скоростью \vartheta_1 = \frac{L}{\tau} = \frac{80 м}{40 мин} = 2 \frac{м}{мин}

2) При этом очередь каждую минуту становится короче на \frac{\Delta n}{\Delta t} = \frac{n_1 - n_2}{\Delta t} = \frac{8 - 4}{1 мин} = 4 \frac{чел}{мин} Или \frac{1 мин}{4 чел} - время \quad ухода \quad 1 \quad человека \quad из \quadочереди

3) Значит каждый человек занимает в очереди расстояние \Delta l = \vartheta_1 \cdot \frac{1 мин}{4 чел} = 2 \frac{м}{мин} \cdot \frac{1 мин}{4 чел} = \frac{1}{2} \frac{м}{чел} = 0,5 \frac{м}{чел}

4) Из очереди выходят n_1 = 8 человек и каждый занимает \Delta l = 0,5 м, тогда очередь уменьшается на расстояние n_1 \cdot \Delta l = 8 \cdot 0,5 м = 4 м Скорость человека \vartheta_{чел} = \frac{n \Delta l}{\Delta t} = \frac{4 м}{1 мин} = 4 \frac{м}{мин}

5) т.к. из очереди за каждую минуту уходят 8 человек, то за 40 минут всего пройдет людей N = 40 мин \cdot 8 \frac{чел}{мин} = 320 человек

Ответ 4 \frac{м}{мин} ; 320 человек

Задача 2

Условие

По реке со скоростью \vartheta плывут небольшие льдины, покрывая одну шестую часть поверхности воды. Из-за сужения реки впереди по течению льдины скапливаются, полностью покрывая поверхность воды, и движутся со скоростью \vartheta/5 . В какую сторону и с какой средней скоростью движется граница сплошного льда. В рассматриваемой области ширина реки не меняется, льдины не перекрываются.

1 Решение

2 Пусть граница «лед-вода» движется со скоростью u (по направлению течения).

Рассмотрим промежуток времени \Delta t . Перейдем в СО, связанную с границей, т.к. в этой СО граница покоится:

1) Подплывают к границе льдины, которые на расстоянии \Delta l = (\vartheta - u)\Delta t

2) По условию эти льдины покрывают 1/6 часть реки, значит их площадь \Delta S = \frac{1}{6} \Delta l \cdot b = \frac{1}{6} (\vartheta - u)\Delta t \cdot b \quad (1)

3) Уплывают от границы все льдины, которые находятся на расстоянии от границы равное \Delta l_1 = \left( \frac{\vartheta}{5} - u \right) \Delta t

4) Они покрывают площадь \Delta S_1 = l_1 \cdot b \Delta S_1 = \left( \frac{\vartheta}{5} - u \right) \Delta t \cdot b \quad (2)

5) Площадь льда, подплывающего к границе равна площади льда, уплывающего от границы, т.е. \Delta S_1 = \Delta S_2

Из (1) и (2) получим \frac{1}{6} (\vartheta - u)\Delta t \cdot b = \left( \frac{\vartheta}{5} - u \right) \Delta t \cdot b \frac{1}{6}\vartheta - \frac{1}{6}u = \frac{\vartheta}{5} - u u - \frac{1}{6}u = \frac{\vartheta}{5} - \frac{\vartheta}{6} \frac{5u}{6} = \frac{\vartheta}{30} 5 \cdot u \cdot 30 = 6\vartheta u = \frac{6\vartheta}{5 \cdot 30} = \frac{\vartheta}{25}

Ответ \frac{\vartheta}{25}