Пробки Часть 1

Задача 3 Условие С какой скоростью растет «хвост» автомобильной пробки, образовавшейся из-за резкого снижения скорости на некотором участке дороги? До пробки автомобили движутся однородным потоком со скоростью 50 км/ч со средней плотностью 20 автомобилей на 1 км пути. В пробке скорость автомобилей снижается до 5 км/ч, и движутся они почти вплотную друг к другу со средней плотностью 125 автомобилей на 1 км пути. Решение 1) Пусть пробка нарастает со скоростью $\vartheta_{пробки}$. 2) Тогда за $\Delta t = 1$ ч в пробку заедет $$ \vartheta_1 \cdot \Delta t \cdot \rho_1 = 50 \frac{км}{ч} \cdot 1 ч \cdot 20 \frac{авто}{км} = 1000 авто $$ 3) Хвост пробки и машины из потока сближаются со скоростью $$ \vartheta_1 + \vartheta_{пробки} $$ И займут расстояние $$ (\vartheta_1 + \vartheta_{пробки}) \Delta t $$ 4) За это время к пробке примкнут из потока количество авто равное $$ (\vartheta_1 + \vartheta_{пробки}) \Delta t \cdot \rho_1 $$ 5) Но из потока выйдут количество авто равное $$ \vartheta_2 \cdot \Delta t \cdot \rho_2 $$ 6) Машин в пробке возрастет на $$ (\vartheta_1 + \vartheta_{пробки})\Delta t \rho_1 - \vartheta_2 \Delta t \rho_2 \quad (*) $$ 7) Эти машины разместятся на расстоянии $\vartheta_{пробки} \cdot \Delta t$ с плотностью $\rho_2$, тогда их количество можно записать $$ \vartheta_{пробки} \cdot \Delta t \cdot \rho_2 \quad (**) $$ Приравняем (*) и (**): $$ (\vartheta_1 + \vartheta_{пробки})\Delta t \rho_1 - \vartheta_2 \Delta t \rho_2 = \vartheta_{пробки} \Delta t \rho_2 $$ $$ \vartheta_1 \rho_1 + \vartheta_{пробки} \rho_1 - \vartheta_2 \rho_2 = \vartheta_{пробки} \rho_2 $$ $$ \vartheta_1 \rho_1 - \vartheta_2 \rho_2 = (\rho_2 - \rho_1) \vartheta_{пробки} $$ $$ \vartheta_{пробки} = \frac{\vartheta_1 \rho_1 - \vartheta_2 \rho_2}{\rho_2 - \rho_1} $$ $$ \vartheta_{пробки} = \frac{50 \cdot 20 - 5 \cdot 125}{125 - 20} $$ $$ \vartheta_{пробки} = 3,57 \frac{км}{ч} $$ Ответ $3,57 \frac{км}{ч}$