Пробки Часть 1: Пробки

Задача 3

Условие

С какой скоростью растет «хвост» автомобильной пробки, образовавшейся из-за резкого снижения скорости на некотором участке дороги? До пробки автомобили движутся однородным потоком со скоростью 50 км/ч со средней плотностью 20 автомобилей на 1 км пути. В пробке скорость автомобилей снижается до 5 км/ч, и движутся они почти вплотную друг к другу со средней плотностью 125 автомобилей на 1 км пути.

Решение

3 1) Пусть пробка нарастает со скоростью \vartheta_{пробки} .

2) Тогда за \Delta t = 1 ч в пробку заедет \vartheta_1 \cdot \Delta t \cdot \rho_1 = 50 \frac{км}{ч} \cdot 1 ч \cdot 20 \frac{авто}{км} = 1000 авто

3) Хвост пробки и машины из потока сближаются со скоростью \vartheta_1 + \vartheta_{пробки} И займут расстояние (\vartheta_1 + \vartheta_{пробки}) \Delta t

4) За это время к пробке примкнут из потока количество авто равное (\vartheta_1 + \vartheta_{пробки}) \Delta t \cdot \rho_1

5) Но из потока выйдут количество авто равное \vartheta_2 \cdot \Delta t \cdot \rho_2

6) Машин в пробке возрастет на (\vartheta_1 + \vartheta_{пробки})\Delta t \rho_1 - \vartheta_2 \Delta t \rho_2 \quad (*)

7) Эти машины разместятся на расстоянии \vartheta_{пробки} \cdot \Delta t с плотностью \rho_2 , тогда их количество можно записать \vartheta_{пробки} \cdot \Delta t \cdot \rho_2 \quad (**)

Приравняем (*) и (**): (\vartheta_1 + \vartheta_{пробки})\Delta t \rho_1 - \vartheta_2 \Delta t \rho_2 = \vartheta_{пробки} \Delta t \rho_2 \vartheta_1 \rho_1 + \vartheta_{пробки} \rho_1 - \vartheta_2 \rho_2 = \vartheta_{пробки} \rho_2 \vartheta_1 \rho_1 - \vartheta_2 \rho_2 = (\rho_2 - \rho_1) \vartheta_{пробки} \vartheta_{пробки} = \frac{\vartheta_1 \rho_1 - \vartheta_2 \rho_2}{\rho_2 - \rho_1}

\vartheta_{пробки} = \frac{50 \cdot 20 - 5 \cdot 125}{125 - 20} \vartheta_{пробки} = 3,57 \frac{км}{ч}

Ответ 3,57 \frac{км}{ч}