Относительное движение Часть 1

Задача 3 Условие Два спортсмена тренируются на кольцевой дорожке стадиона. Они стартуют по сигналу тренера и бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Подав сигнал, тренер сразу же покидает старт и начинает движение навстречу спортсменам со скоростью $u = 5$ км/ч. Известно, что в некоторый момент времени все трое встретились. Первый спортсмен к этому моменту пробежал не более двух кругов. Найдите возможные значения скоростей $\vartheta_2$ второго спортсмена, если известно, что скорость первого спортсмена равна $\vartheta_1 = 10$ км/ч, а скорость второго не превосходит 20 км/ч. Возможное решение Пусть $L$ — длина кольцевой дорожки, $t$ — время от старта до встречи. 1. Рассмотрим движение тренера с первым спортсменом. Так как они бегут навстречу, их скорость сближения равна $\vartheta_1+u$. За время $t$ они совместно пробежали целое число кругов $n \cdot L$. $$ (\vartheta_1 + u)t = nL \quad (1) $$ 2. Рассмотрим движение тренера со вторым спортсменом. Их скорость сближения $\vartheta_2+u$. За то же время $t$ они совместно пробежали целое число кругов $m \cdot L$. $$ (\vartheta_2 + u)t = mL \quad (2) $$ 3. Разделим (2) на (1): $$ \frac{(\vartheta_2 + u)t}{(\vartheta_1 + u)t} = \frac{mL}{nL} $$ $$ \frac{\vartheta_2+u}{\vartheta_1+u} = \frac{m}{n} $$ Выразим $\vartheta_2$: $$ \vartheta_2 = \frac{m}{n}(\vartheta_1+u) - u \quad (3) $$ 4. Первый спортсмен пробежал не более двух кругов: $\vartheta_1 t \le 2L$. Разделим это неравенство на уравнение (1): $$ \frac{\vartheta_1 t}{(\vartheta_1+u)t} \le \frac{2L}{nL} $$ $$ \frac{\vartheta_1}{\vartheta_1+u} \le \frac{2}{n} \implies n \le \frac{2(\vartheta_1+u)}{\vartheta_1} $$ $$ n \le \frac{2(10+5)}{10} = \frac{30}{10} = 3 $$ Т.е. возможные значения для $n$: 1, 2, 3. 5. Теперь для каждого $n$ переберем натуральные значения $m$, при которых $\vartheta_2 \le 20$ км/ч, используя (3). $$ \vartheta_2 = \frac{m}{n}(10+5) - 5 = \frac{15m}{n} - 5 $$ А) Случай n=1 $\vartheta_2 = 15m-5$. При $m=1$: $\vartheta_2=10$ км/ч. Б) Случай n=2 $\vartheta_2 = \frac{15m}{2}-5 = 7,5m-5$. При $m=1$: $\vartheta_2=2,5$ км/ч. При $m=2$: $\vartheta_2=10$ км/ч. При $m=3$: $\vartheta_2=17,5$ км/ч. В) Случай n=3 $\vartheta_2 = \frac{15m}{3}-5 = 5m-5$. При $m=1$: $\vartheta_2=0$ км/ч. При $m=2$: $\vartheta_2=5$ км/ч. При $m=3$: $\vartheta_2=10$ км/ч. При $m=4$: $\vartheta_2=15$ км/ч. При $m=5$: $\vartheta_2=20$ км/ч. Ответ Возможные значения скорости второго спортсмена: 2,5; 5; 10; 15; 17,5; 20 (в км/ч).