Относительное движение Часть 1: Относительное движение

Задача 3

Условие

Два спортсмена тренируются на кольцевой дорожке стадиона. Они стартуют по сигналу тренера и бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Подав сигнал, тренер сразу же покидает старт и начинает движение навстречу спортсменам со скоростью u = 5 км/ч. Известно, что в некоторый момент времени все трое встретились. Первый спортсмен к этому моменту пробежал не более двух кругов. Найдите возможные значения скоростей \vartheta_2 второго спортсмена, если известно, что скорость первого спортсмена равна \vartheta_1 = 10 км/ч, а скорость второго не превосходит 20 км/ч.

Возможное решение

Пусть L — длина кольцевой дорожки, t — время от старта до встречи.

1. Рассмотрим движение тренера с первым спортсменом. Так как они бегут навстречу, их скорость сближения равна \vartheta_1+u . За время t они совместно пробежали целое число кругов n \cdot L . (\vartheta_1 + u)t = nL \quad (1) 2. Рассмотрим движение тренера со вторым спортсменом. Их скорость сближения \vartheta_2+u . За то же время t они совместно пробежали целое число кругов m \cdot L . (\vartheta_2 + u)t = mL \quad (2) 3. Разделим (2) на (1): \frac{(\vartheta_2 + u)t}{(\vartheta_1 + u)t} = \frac{mL}{nL} \frac{\vartheta_2+u}{\vartheta_1+u} = \frac{m}{n} Выразим \vartheta_2 : \vartheta_2 = \frac{m}{n}(\vartheta_1+u) - u \quad (3) 4. Первый спортсмен пробежал не более двух кругов: \vartheta_1 t \le 2L . Разделим это неравенство на уравнение (1): \frac{\vartheta_1 t}{(\vartheta_1+u)t} \le \frac{2L}{nL} \frac{\vartheta_1}{\vartheta_1+u} \le \frac{2}{n} \implies n \le \frac{2(\vartheta_1+u)}{\vartheta_1} n \le \frac{2(10+5)}{10} = \frac{30}{10} = 3 Т.е. возможные значения для n : 1, 2, 3.

5. Теперь для каждого n переберем натуральные значения m , при которых \vartheta_2 \le 20 км/ч, используя (3). \vartheta_2 = \frac{m}{n}(10+5) - 5 = \frac{15m}{n} - 5

А) Случай n=1 \vartheta_2 = 15m-5 . При m=1 : \vartheta_2=10 км/ч.

Б) Случай n=2 \vartheta_2 = \frac{15m}{2}-5 = 7,5m-5 . При m=1 : \vartheta_2=2,5 км/ч. При m=2 : \vartheta_2=10 км/ч. При m=3 : \vartheta_2=17,5 км/ч.

В) Случай n=3 \vartheta_2 = \frac{15m}{3}-5 = 5m-5 . При m=1 : \vartheta_2=0 км/ч. При m=2 : \vartheta_2=5 км/ч. При m=3 : \vartheta_2=10 км/ч. При m=4 : \vartheta_2=15 км/ч. При m=5 : \vartheta_2=20 км/ч.

Ответ Возможные значения скорости второго спортсмена: 2,5; 5; 10; 15; 17,5; 20 (в км/ч).