Закон сложения скоростей Часть 2: Закон сложения скоростей

Задача 6

Условие

В гипермаркете экспериментатор Глюк развлекался, бегая по эскалатору. Первый раз он бежал со скоростью \vartheta_1 и насчитал N_1 ступенек. Затем по соседнему эскалатору он вернулся к месту старта и вновь побежал в ту же сторону, что и в первый раз. Теперь он бежал медленнее (устал) и насчитал N_2 ступенек ( N_2 > N_1 ). В какую сторону бежал Глюк — по ходу эскалатора или против хода? Скорость бегущего Глюка всегда больше скорости эскалатора.

Решение

В 1-ый раз насчитал N_1 ; \vartheta_1 — скорость человека; u — скорость эскалатора; l — длина эскалатора; N/l — количество ступенек на единицу длины

Во 2-ой раз насчитал N_2 ( N_2 > N_1 ); \vartheta_2 — скорость человека; \vartheta_2 < \vartheta_1 — по условию

Предположим, что Глюк бежит по ходу эскалатора

А) время пробега t_1 = \frac{l}{\vartheta_1 + u} Б) пройденное расстояние \vartheta_1 t_1 = \frac{l \vartheta_1}{\vartheta_1 + u} В) насчитал N_1 = \frac{l \vartheta_1}{\vartheta_1 + u} \cdot \frac{N}{l} = \frac{lN}{l} \frac{\vartheta_1}{\vartheta_1 + u} = \frac{N}{1 + \frac{u}{\vartheta_1}}

А) время пробега t_2 = \frac{l}{\vartheta_2 + u} Б) пройденное расстояние \vartheta_2 t_2 = \frac{l \vartheta_2}{\vartheta_2 + u} В) насчитал N_2 = \frac{l \vartheta_2}{\vartheta_2 + u} \cdot \frac{N}{l} = \frac{N}{1 + \frac{u}{\vartheta_2}}

Сравним, с учетом \vartheta_2 < \vartheta_1 k = \frac{Nl}{l} \frac{k}{1 + \frac{u}{\vartheta_1}} > \frac{k}{1 + \frac{u}{\vartheta_2}} Это противоречит условию, значит бежал против хода эскалатора!

А) время пробега t_1 = \frac{l}{\vartheta_1 - u} Б) пройденное расстояние l_1 = \vartheta_1 t_1 = \frac{l \vartheta_1}{\vartheta_1 - u} В) насчитал N_1 = \frac{l \vartheta_1}{\vartheta_1 - u} \cdot \frac{N}{l} = \frac{\vartheta_1 N}{\vartheta_1 - u}

А) время пробега t_2 = \frac{l}{\vartheta_2 - u} Б) пройденное расстояние l_2 = \vartheta_2 t_2 = \frac{l \vartheta_2}{\vartheta_2 - u} В) насчитал N_2 = \frac{l \vartheta_2}{\vartheta_2 - u} \cdot \frac{N}{l} = \frac{\vartheta_2 N}{\vartheta_2 - u}

Найдем u \frac{N_1}{N_2} = \frac{\vartheta_1 N}{\vartheta_1 - u} \cdot \frac{\vartheta_2 - u}{\vartheta_2 N} N_1 \vartheta_2 (\vartheta_1 - u) = N_2 (\vartheta_1 - u) (\vartheta_2 - u) N_1 \vartheta_2 \vartheta_1 - N_1 \vartheta_2 u = N_2 \vartheta_1 \vartheta_2 - N_2 \vartheta_1 u - N_2 u \vartheta_2 + N_2 u^2 u = (\vartheta_1 + \vartheta_2) - \frac{N_1}{N_2} \vartheta_2 \quad (4)

Найдем количество ступенек: N_1 \left( \vartheta_1 - \left( (\vartheta_1 + \vartheta_2) - \frac{N_1}{N_2}\vartheta_2 \right) \right) = \vartheta_1 N \frac{\vartheta_2}{\vartheta_1} \left( \frac{{N_1}^2 - N_1 N_2}{N_2} \right) = N

Ответ бежал против эскалатора