Закон сложения скоростей Часть 2

Задача 6 Условие В гипермаркете экспериментатор Глюк развлекался, бегая по эскалатору. Первый раз он бежал со скоростью $\vartheta_1$ и насчитал $N_1$ ступенек. Затем по соседнему эскалатору он вернулся к месту старта и вновь побежал в ту же сторону, что и в первый раз. Теперь он бежал медленнее (устал) и насчитал $N_2$ ступенек ($N_2 > N_1$). В какую сторону бежал Глюк — по ходу эскалатора или против хода? Скорость бегущего Глюка всегда больше скорости эскалатора. Решение В 1-ый раз насчитал $N_1$; $\vartheta_1$ — скорость человека; $u$ — скорость эскалатора; $l$ — длина эскалатора; $N/l$ — количество ступенек на единицу длины Во 2-ой раз насчитал $N_2$ ($N_2 > N_1$); $\vartheta_2$ — скорость человека; $\vartheta_2 Предположим, что Глюк бежит по ходу эскалатора А) время пробега $$ t_1 = \frac{l}{\vartheta_1 + u} $$ Б) пройденное расстояние $$ \vartheta_1 t_1 = \frac{l \vartheta_1}{\vartheta_1 + u} $$ В) насчитал $$ N_1 = \frac{l \vartheta_1}{\vartheta_1 + u} \cdot \frac{N}{l} = \frac{lN}{l} \frac{\vartheta_1}{\vartheta_1 + u} = \frac{N}{1 + \frac{u}{\vartheta_1}} $$ А) время пробега $$ t_2 = \frac{l}{\vartheta_2 + u} $$ Б) пройденное расстояние $$ \vartheta_2 t_2 = \frac{l \vartheta_2}{\vartheta_2 + u} $$ В) насчитал $$ N_2 = \frac{l \vartheta_2}{\vartheta_2 + u} \cdot \frac{N}{l} = \frac{N}{1 + \frac{u}{\vartheta_2}} $$ Сравним, с учетом $\vartheta_2 \frac{k}{1 + \frac{u}{\vartheta_2}} $$ Это противоречит условию, значит бежал против хода эскалатора! А) время пробега $$ t_1 = \frac{l}{\vartheta_1 - u} $$ Б) пройденное расстояние $$ l_1 = \vartheta_1 t_1 = \frac{l \vartheta_1}{\vartheta_1 - u} $$ В) насчитал $$ N_1 = \frac{l \vartheta_1}{\vartheta_1 - u} \cdot \frac{N}{l} = \frac{\vartheta_1 N}{\vartheta_1 - u} $$ А) время пробега $$ t_2 = \frac{l}{\vartheta_2 - u} $$ Б) пройденное расстояние $$ l_2 = \vartheta_2 t_2 = \frac{l \vartheta_2}{\vartheta_2 - u} $$ В) насчитал $$ N_2 = \frac{l \vartheta_2}{\vartheta_2 - u} \cdot \frac{N}{l} = \frac{\vartheta_2 N}{\vartheta_2 - u} $$ Найдем $u$ $$ \frac{N_1}{N_2} = \frac{\vartheta_1 N}{\vartheta_1 - u} \cdot \frac{\vartheta_2 - u}{\vartheta_2 N} $$ $$ N_1 \vartheta_2 (\vartheta_1 - u) = N_2 (\vartheta_1 - u) (\vartheta_2 - u) $$ $$ N_1 \vartheta_2 \vartheta_1 - N_1 \vartheta_2 u = N_2 \vartheta_1 \vartheta_2 - N_2 \vartheta_1 u - N_2 u \vartheta_2 + N_2 u^2 $$ $$ u = (\vartheta_1 + \vartheta_2) - \frac{N_1}{N_2} \vartheta_2 \quad (4) $$ Найдем количество ступенек: $$ N_1 \left( \vartheta_1 - \left( (\vartheta_1 + \vartheta_2) - \frac{N_1}{N_2}\vartheta_2 \right) \right) = \vartheta_1 N $$ $$ \frac{\vartheta_2}{\vartheta_1} \left( \frac{{N_1}^2 - N_1 N_2}{N_2} \right) = N $$ Ответ бежал против эскалатора