Просто движение Часть 1: Просто движение

Задача 3

Условие

На ленте конвейера, движущейся с некоторой скоростью \vartheta , находятся цилиндрические емкости. Над лентой через каждые L метров установлены краны, из которых в те промежутки времени когда под ними проходят емкости, с постоянным объемным расходом выливается готовый продукт. За некоторое время t_{0} емкость заполняется на половину своего объема V .

1) Какая часть объема V будет заполняться за то же время t_{0} , если расстояние между кранами увеличить в 2 раза, а скорость движения ленты в 3?

2) Представьте, что все размеры емкости увеличили в 2 раза, расстояние между кранами - в 3 раза, а скорость движения ленты установили 2 \vartheta . Какая часть объема V_{1} новой емкости заполнится за время 4,5 t_{0} ?

При решении задачи считайте, что t_{0}=L / \vartheta .

Решение

16 d - диаметр сосуда

t_0 - время заполнения сосуда

1) Будем считать, что время заполнения сосуда t_0 пропорцианально L / \vartheta , т.е. сосуд выезжая из под одного крана, тут же попадает под следующий кран.

A) пусть d - диаметр сосуда, тогда под каждым краном сосуд находится.

\tau=\frac{d}{\vartheta} - \text{время нахождения под каждым краном}; (1) Б) за время t_{0} сосуд окажется под кранами n раз:

n=\frac{S}{L}=\frac{\vartheta t_{0}}{l}, (2) где S - расстояние пройденное контейнером за время t_{0} .

B) Тогда за время t_{0} в сосуд нальется объем продукта

V^{\prime}=\mu \tau n. (3) Подставим в (3) формулы (1) и (2)

V^{\prime}=\mu \cdot \frac{d}{v} \cdot \frac{\vartheta t_{0}}{L}, \quad V^{\prime}=\frac{\mu d t_{0}}{L}=\frac{V}{2}. Видно, что объем продукта не зависит от скорости \vartheta движения ленты.

r0.25

По условию задачи

V_{1}^{\prime}=\frac{V}{2}=\frac{\mu d t_{0}}{L}. 2) Если L увеличить в 2 раза, то

\frac{V}{2 \cdot 2}=\frac{\mu d t_{0}}{2 L}, \quad \text { т.е. } \frac{V}{4}. 3) Если станет: 2 d ; 3 L ; 2 \vartheta_{0} ; 4,5 t_{0} ; V_{2}=8 V_{1}=8 V ;

\frac{\mu 2 d 4,5 t_{0}}{3 L}=\left(\frac{\mu d t_{0}}{L}\right) \frac{9}{3}=\frac{V}{2} \cdot \frac{9}{3}=\frac{3 V}{2}, нo

V_{1}=8 V \rightarrow V=\frac{V_{1}}{8}. Тогда \frac{3 V}{2}=\frac{3}{2} \cdot \frac{V_{1}}{8}=\frac{3}{16 V_{1}} \quad \Rightarrow \quad

V_{1}=\frac{\pi d^{2}}{4} h, \quad

V_{2}=\frac{\pi(2 d)^{2}}{4} 2 h=\frac{\pi 4 d^{2} 2 h}{4}=\frac{\pi d^{2} h}{4}=8. T.e. V_{2}=8 V_{1}=8 V \rightarrow V=\frac{V_{2}}{8}, где V_{2} - новый объем сосуда.

Было получено: \frac{\mu d t_{0}}{L}=\frac{V}{2}. Станет 2 d ; 3 L ; 2 V_{0} ; 4,5 t_{0} ; V_{2}={}_2=8 V_{1}=8 V \rightarrow V=\frac{V_{2}}{8} ;

\frac{\mu(2 d)\left(4,5 t_{0}\right)}{{ }_{3} L}=\frac{\mu d t_{0}}{L} \frac{9}{3}=\frac{9}{3} \frac{V}{2}=\frac{3 V}{2}=\frac{3}{2} \frac{V_{2}}{8}=\frac{3}{16} V_{2}. Нальется \frac{3}{16} объема новой емкости.

Ответ \frac{3}{16} .