Просто движение Часть 1

Задача 3 Условие На ленте конвейера, движущейся с некоторой скоростью $\vartheta$, находятся цилиндрические емкости. Над лентой через каждые $L$ метров установлены краны, из которых в те промежутки времени когда под ними проходят емкости, с постоянным объемным расходом выливается готовый продукт. За некоторое время $t_{0}$ емкость заполняется на половину своего объема $V$. 1) Какая часть объема $V$ будет заполняться за то же время $t_{0}$, если расстояние между кранами увеличить в 2 раза, а скорость движения ленты в 3? 2) Представьте, что все размеры емкости увеличили в 2 раза, расстояние между кранами - в 3 раза, а скорость движения ленты установили $2 \vartheta$. Какая часть объема $V_{1}$ новой емкости заполнится за время $4,5 t_{0}$? При решении задачи считайте, что $t_{0}=L / \vartheta$. Решение d - диаметр сосуда $t_0$ - время заполнения сосуда 1) Будем считать, что время заполнения сосуда $t_0$ пропорцианально $L / \vartheta$, т.е. сосуд выезжая из под одного крана, тут же попадает под следующий кран. A) пусть $d$ - диаметр сосуда, тогда под каждым краном сосуд находится. $$\tau=\frac{d}{\vartheta} - время нахождения под каждым краном; \eqno(1)$$ Б) за время $t_{0}$ сосуд окажется под кранами $n$ раз: $$ n=\frac{S}{L}=\frac{\vartheta t_{0}}{l}, \eqno(2) $$ где $S$ - расстояние пройденное контейнером за время $t_{0}$. B) Тогда за время $t_{0}$ в сосуд нальется объем продукта $$ V^{\prime}=\mu \tau n. \eqno(3) $$ Подставим в (3) формулы (1) и (2) $$ V^{\prime}=\mu \cdot \frac{d}{v} \cdot \frac{\vartheta t_{0}}{L}, \quad V^{\prime}=\frac{\mu d t_{0}}{L}=\frac{V}{2}. $$ Видно, что объем продукта не зависит от скорости $\vartheta$ движения ленты. r 0.25 По условию задачи $$ V_{1}^{\prime}=\frac{V}{2}=\frac{\mu d t_{0}}{L}. $$ 2) Если $L$ увеличить в 2 раза, то $$ \frac{V}{2 \cdot 2}=\frac{\mu d t_{0}}{2 L}, \quad \text { т.е. } \frac{V}{4}. $$ 3) Если станет: $2 d $; $3 L $; $2 \vartheta_{0} $; $4,5 t_{0} $; $V_{2}=8 V_{1}=8 V$; $$ \frac{\mu 2 d 4,5 t_{0}}{3 L}=\left(\frac{\mu d t_{0}}{L}\right) \frac{9}{3}=\frac{V}{2} \cdot \frac{9}{3}=\frac{3 V}{2}, $$ нo $$ V_{1}=8 V \rightarrow V=\frac{V_{1}}{8}. $$ Тогда $$ \frac{3 V}{2}=\frac{3}{2} \cdot \frac{V_{1}}{8}=\frac{3}{16 V_{1}} \quad \Rightarrow \quad V_{1}=\frac{\pi d^{2}}{4} h, \quad V_{2}=\frac{\pi(2 d)^{2}}{4} 2 h=\frac{\pi 4 d^{2} 2 h}{4}=\frac{\pi d^{2} h}{4}=8. $$ T.e. $$ V_{2}=8 V_{1}=8 V \rightarrow V=\frac{V_{2}}{8}, $$ где $V_{2}$ - новый объем сосуда. Было получено: $$ \frac{\mu d t_{0}}{L}=\frac{V}{2}. $$ Станет $2 d $; $3 L $; $2 V_{0} $; $4,5 t_{0} $; $V_{2}={}_2=8 V_{1}=8 V \rightarrow V=\frac{V_{2}}{8}$; $$ \frac{\mu(2 d)\left(4,5 t_{0}\right)}{{ }_{3} L}=\frac{\mu d t_{0}}{L} \frac{9}{3}=\frac{9}{3} \frac{V}{2}=\frac{3 V}{2}=\frac{3}{2} \frac{V_{2}}{8}=\frac{3}{16} V_{2}. $$ Нальется $\frac{3}{16}$ объема новой емкости. Ответ $\frac{3}{16}$.