Относительное движение Часть 1: Относительное движение

Задача 6

Условие

Мимо домов Вани и Маши проходит круговой велосипедный маршрут. Перед сном дети любят прокатиться на велосипедах. Ездят они строго по маршруту с постоянной, комфортной для себя скоростью и делают ровно один круг. Однажды вечером до выезда на прогулку ребята синхронизировали свои GPS-трекеры и далее замеряли кратчайшее расстояние между собой по маршруту (то есть вдоль его траектории). Вот некоторые результаты их измерений в привязке ко времени:

13 Используя эти данные, ответьте на вопросы:

Каково минимальное расстояние по маршруту между домами Вани и Маши?

С какими скоростями двигались дети?

Считая, что первой на прогулку вышла Маша, определите, в какое время это произошло?

Какова протяжённость велосипедного маршрута?

Возможное решение

Аналитический метод

Составим таблицу средних относительных скоростей Вани и Маши.

14 С 20:00 по 21:00 относительная скорость постоянна и равна -3 км/ч. Это значит, что дети едут в одном направлении, и скорость Вани больше скорости Маши на 3 км/ч ( \vartheta_{В} - \vartheta_{М} = 3 ).

На трех предыдущих отрезках (с 19:00 по 20:00) относительные скорости различны. Это означает, что в эти промежутки времени происходили старты или финиши.

Так как в 19:00 расстояние между ними было 3 км, это расстояние между их домами.

В промежутке 19:20-19:40 относительная скорость 12 км/ч. Это скорость Маши, так как Ваня еще не стартовал. Значит, \vartheta_{М} = 12 км/ч. Тогда скорость Вани \vartheta_{В} = 12+3 = 15 км/ч.

Маша выехала до 19:20. В промежутке 19:00-19:20 относительная скорость была 6 км/ч. Это значит, что часть времени ехала только Маша, а часть времени они ехали в разные стороны. Маша выехала в 19:10. За 10 минут она проехала 2 км.

Маша вернулась домой в 21:10. Ее не было дома 2 часа ( 21:10 - 19:10 ).

Протяженность маршрута: S = \vartheta_{М} \cdot t_{общ} = 12 \frac{км}{ч} \cdot 2 ч = 24 км.

15 Графический метод

Можно решить задачу графически, построив график зависимости расстояния между Машей и Ваней от времени.

16 Из графика:

Между домами — 3 км (т.к. первый участок горный);

Маша вышла в 19:10 и вернулась в 21:10;

Скорость Маши по II участку: \vartheta_{М} = tga = \frac{6 км}{30/60 ч} = 12 \frac{км}{ч} ;

Скорость Вани по IV участку: \vartheta_{В} = tga = \frac{5 км}{20/60 ч} = 15 \frac{км}{ч} ;

Длина маршрута: S = \vartheta_{М}(21:10 - 19:10) = 12 \frac{км}{ч} \cdot 2 ч = 24 км .

Ответ 1) 3 км; 2) \vartheta_{Вани} = 15 км/ч, \vartheta_{Маши} = 12 км/ч; 3) Маша в 19:10; 4) 24 км.