Индуктивность контура и взаимные индуктивности. Линейные соотношения.: Лекция 7

Пример 2: Индуктивность контура в виде квадрата со стороной a равна L_1 . Пусть нам известно, что взаимная индуктивность двух таких квадратных контуров, плоскости которых взаимно перпендикулярны, которые расположены так, что они соприкасаются сторонами, равна L_{12} . Найти индуктивность L_2 контура, охватывающего по периметру оба этих квадратных контура.

image.png

Решение: Знание индуктивности квадратного конура позволяет нам вычислить магнитный поток через него, создаваемый током с силой I в этом контуре: \Phi_1 = L_1 I . Чтобы следить за направлением этого потока, дополним мысленно этот контур до «куба» со стороной a – так, чтобы этот магнитный поток «втекал» внутрь куба.

image.png

Затем рассмотрим нужный нам «двойной» контур, проложив его по ребрам такого же куба. Нетрудно заметить, что этот контур с искомой индуктивностью L_2 можно, добавив два «сокращающих» друг друга тока на одно из ребер нашего куба, превратить в два квадратных контура, составляющих прямой двугранный угол. Каждый из них «отправляет» внутрь куба поток \Phi_1 = L_1 I , часть которого выходит через соседнюю грань. Величина этой «выходящей» части определяется известной нам взаимной индуктивностью: \Phi'_1 = L_{12} I . Следовательно, полный поток через «двойной» контур равен \Phi_2 = 2(\Phi_1 - \Phi'_1) = 2(L_1 - L_{12})I = L_2 I . Значит, L_2 = 2(L_1 - L_{12}) .

С понятием индуктивности тесно связан анализ «энергетики» постоянных магнитных полей. Действительно, магнитное поле – материальный объект, обладающий энергией. Ведь когда мы подключаем проводящий контур к источнику ЭДС, этот источник, в процессе создания тока в этом контуре совершает работу по перемещению зарядов. Мы знаем, как вычислить мгновенную мощность этой рабоы: она равна произведению ЭДС на мгновенное значение силы тока в контуре. Эта работа идет на компенсацию джоулевых потерь (выделения тепла на сопротивлении контура) и на создание магнитного поля. Как вычислить энергию магнитного поля, созданного контуром с током. С магнитным полем в малом объеме dV , заполненного магнетиком с проницаемостью \mu , внутри которого магнитная индукция равна \vec{B} , энергия поля равна dE_B = \frac{B^2}{2 \mu_0 \mu} dV . Величина w_B = \frac{B^2}{2 \mu_0 \mu} – это объемная плотность магнитной энергии. Для вычисления полной энергии поля нужно суммировать все такие вклады для всех элементов объема, то есть проинтегрировать эту плотность по всему объему, занятому магнитным полем. Обычно эта процедура довольно сложна, но есть один пример, в котом на выполняется легко.

Подсчитаем магнитную энергию длинного тонкого соленоида, считая поле внутри него однородным и пренебрегая энергией поля за пределами соленоида: E_B = \frac{B_{in}^2}{2 \mu_0 \mu} l S = \frac{\mu_0 \mu N^2 S}{2 l} I^2 . Сравнивая это выражение с формулой для индуктивности длинного тонкого соленоида, обнаруживаем, что энергия соленоида (катушки индуктивности), запасенная в виде магнитного поля, вычисляется по довольно простой формуле E_L = \frac{LI^2}{2} . В нашей выкладке мы пренебрегли неоднородностью поля внутри соленоида (это предположение, несомненно, увеличивает общую энергию по сравнению с точным значением, ибо на самом деле индукция поля при приближении к торцам соленоида уменьшается) и пренебрегли наличием поля вне соленоида (чем уменьшили общую энергию). Удивительно, но более сложное точное вычисление приведет к этой же формуле!

На самом деле эта формула является точной для любого контура и позволяет вычислять энергию магнитного поля любого контура с током по его индуктивности. Более того, на ее основе можно вычислять энергию системы контуров с током. Для системы контуров с силами тока I_i энергия магнитного поля определяется формулой E_B = \sum_i \frac{L_{ii} I_i^2}{2} + \sum_{i < j} L_{ij} I_i I_j, где L_{ii} \equiv L_i – индуктивность i -го контура, а L_{ij} = L_{ji} – коэффициенты взаимоиндукции. Это позволяет изучать энергетический баланс любой системы, содержащей контура с током. Например, для системы из двух контуров E_B = \frac{L_1 I_1^2}{2} + \frac{L_2 I_2^2}{2} + L_{12} I_1 I_2. Мы, естественно, должны считать, что первое слагаемое – это энергия одного первого контура (она зависит только от силы тока в этом контуре), второе – это энергия одного второго контура, а третье – энергия магнитного взаимодействия первого и второго контуров. Отметим, что, эта энергия относится имен к паре контуров, и ее не смысла разбивать на «энергию взаимодействия первого контура с полем второго» и «энергию взаимодействия второго контура с полем первого», ибо обе эти энергии были бы пропорциональны произведению сил токов. Если бы теорема взаимности нарушалась, то мы бы записали: E_{B3} = \frac{L_{12} I_1 I_2}{2} + \frac{L_{21} I_2 I_1}{2} = \frac{L_{12} + L_{21}}{2} I_1 I_2, то есть в выражение энергии взаимодействия, которое должно описывать физику этого взаимодействия все равно входили бы не «разные» взаимные индуктивности L_{12} и L_{21} , а их полусумма. Значит, эту полусумму можно считать «симметричным» значением взаимной индуктивности (соответствующему теореме взаимности), и описание всех физических процессов, связанных с магнитным взаимодействием контуров, не изменилось бы. Это не стpгое доказательство теоремы взаимности, но весьма солидный аргумент в ее пользу.