Индуктивность контура и взаимные индуктивности. Линейные соотношения.: Лекция 7

Энергетический анализ позволяет решать и динамические задачи. Пример 3: Длинный полый тонкостенный диэлектрический цилиндр радиуса r (почти как в предыдущей задаче) может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси без трения. Длина цилиндра равна l \gg 2r , а его масса равна M . На поверхность цилиндра нанесен электрический заряд с постоянной поверхностной плотностью \sigma . На цилиндра намотан непроводящая незаряженная невесомая нерастяжимая нить, один конец которой закреплен на его поверхности, а к другому прикреплен груз массы m , под весом которого цилиндр вращается, разматывая нить. Определите ускорение груза. Ускорение свободного падения равно g , магнитная постоянная \mu_0 .

Решение: При отпускании груза он под действием силы тяжести опускается вниз. Так как диссипативных сил нет, то можно воспользоваться законом сохранения энергии: за счет уменьшения потенциальной энергии груза появляется кинетическая энергия груза и цилиндра и энергия магнитного поля, созданного движением зарядов цилиндра. Начнем с вычисления величины этой энергии в тот момент времени, когда груз движется вниз со скоростью v . Считая нить нерастяжимой, приходим к выводу, что точки поверхности цилиндра движутся с такой же скоростью, и поэтому за время dt некоторую плоскость, перпендикулярную поверхности, пересекает заряд dQ = \sigma l v dt , и полный ток, текущий по поверхности цилиндра I = \frac{dQ}{dt} = \sigma l v . Чтобы воспользоваться формулой для индукции поля тонкого длинного соленоида, приравняем эту величину к полному току, текущему по поверхности соленоида: N I = \sigma l v . Значит, поле внутри цилиндра имеет индукцию B_{in} \approx \mu_0 \frac{N I}{l} = \mu_0 \sigma v . Энергия этого поля E_{MI} = \frac{B_{in}^2}{2 \mu_0} l \pi r^2 = \frac{\mu_0 \pi \sigma^2 r^2 l}{2} v^2 . Ясно, что величина \Delta M \equiv \mu_0 \pi \sigma^2 r^2 l имеет размерность массы – магнитное поле как бы утяжеляет вращающийся заряженный цилиндр: E_{MI} = \frac{\Delta M v^2}{2} . Кинетическая энергия груза и цилиндра вычисляется просто: так как нить нерастяжима и цилиндр тонкостенный, то все его массивные элементы в любой момент времени движутся с такой же по величине скоростью, что и груз. Поэтому E_K = \frac{(M+m)v^2}{2} , и закон сохранения энергии в момент времени, когда груз опустился от начального положения на расстояние x , запишется в виде \frac{(M+m+\Delta M)v^2}{2} - mgx = const = 0 . Следовательно, v(x) = \sqrt{\frac{2mg}{M+m+\Delta M} x} . Сравнивая это выражение с аналогичной формулой для равноускоренного прямолинейного движения v(x) = \sqrt{2ax} , приходим к выводу, что ускорение груза a = \frac{mg}{M+m+\Delta M} = \frac{mg}{M+m+\mu_0 \pi \sigma^2 r^2 l} .

Понятия магнитного потока и индуктивности очень важны при изучении «настоящего электромагнетизма» - в описании систем зарядов и токов, создающих переменные электромагнитные поля. На самом деле, работая в приближении магнитостатики, мы считаем, что любые изменения токов в изучаемых контурах (включения, выключения, переключения соединений) происходили так «давно», что их влияние на систему уже «прекратилось». Поэтому мы, в частности, считаем, что изменение характеристик одного контура не влияет на индуктивности остальных. Это разумно для «обычных» контуров с током. Дело в том, что для контура с индуктивностью L и сопротивлением r характерное время «затухания» влияния изменений равно \tau = L/r (нетрудно убедиться, что эта величина имеет размерность времени). Поэтому для времен t \gg L/r действительно можно пренебречь влиянием изменений. Правда, сразу можно заметить явное исключение из этого правила: для сверхпроводящих контуров (с нулевым омическим сопротивлением) таких времен не существует – для них «предыстория» влияет на происходящее в контуре. Дело в том, что в медленно изменяющихся полях магнитный поток через сверхпроводящий контур не изменяется – при любом изменении внешнего поля в сверхпроводящем контуре ток изменяется ровно таким образом, чтобы общий магнитный поток через него остался прежним! Например, если вносить сверхпроводник из области, где не было магнитного поля, в область, где оно есть, поле токов, появившихся на поверхности сверхпроводников, будет в точности сокращать магнитное поле внутри сверхпроводника, то есть сверхпроводник будет «вытеснять» из себя магнитное поле (это явление называют эффект Мейсснера).

Пример 4: В обмотке тонкого длинного соленоида поддерживается постоянная сила тока, при которой величина магнитной индукции в центре соленоида равна B_0 . Вдали от соленоида находится маленький сверхпроводящий круговой контур, радиус которого r намного меньше радиуса соленоида. Индуктивность этого контура равна L , ток в нем отсутствовал. Этот контур плавно перемещают в центр соленоида и располагают там так, что его плоскость перпендикулярна оси соленоида. Контур остался в сверхпроводящем состоянии. Найдите силу тока в контуре, установившуюся после перемещения.

Решение: Магнитный поток через сверхпроводящий контур остается неизменным за счет тока, появляющегося в сверхпроводнике. В начальном состоянии этот поток был равен нулю, так как контур был очень удален от всех источников магнитного поля, поэтому после перемещения он по-прежнему равен нулю. С другой стороны, он складывался из потока поля соленоида и потока, создаваемого током в самом контуре. По условию внешний источник поддерживает силу тока в обмотке соленоида постоянной, так что и индукция поля (которое в центре соленоида практически однородно) остается прежней. Таким образом, условие равенства нулю магнитного потока через контур в конечном состоянии приводит к уравнению, определяющему силу тока I' в контуре 0 = B_0 \cdot \pi r^2 + L \cdot I' \Rightarrow I' = - \pi \frac{B_0 r^2}{L}. Знак «минус» указывает на направление тока: ток в нашем контуре противоположен току в обмотке соленоида.