Магнитное поле: Часть 4

Часть IV: Принцип суперпозиции.

Одно из важнейших свойств магнитного поля - его линейная связь с источниками (индукция поля, созданного током, прямо пропорциональна силе тока). Следствием этого свойства является принцип суперпозиции:

Индукйия магнитного поля, созданного в данной точке Р несколькими контурами с током, равна векторной сумме индукиий полей, созданных каждым из этих контуров:

\vec{B}(P)=\vec{B}_{1}(P)+\vec{B}_{2}(P)+\vec{B}_{3}(P)+\ldots Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать магнитные поля от нескольких источников, если мы умеем вычислять поле от каждого из них в отдельности. Например: мы знаем, как найти поле, создаваемое одним линейным током - поэтому мы можем найти поле от любой системы линейных токов.

Пример 1: Рассмотрим два прямых провода, проложенных по перпендикулярным скрещенным прямым (непересекающимся прямым, не лежащим в одной плоскости, причем в нашем случае эти плоскости перпендикулярны). По проводам течет ток с одинаковой силой I . Минимальное расстояние между прямыми равно a . Найти величину магнитной индукции в середине отрезка минимальной длины между прямыми.

image.png

Решение: Точка наблюдения находится на расстоянии a / 2 от обоих прямых. Поэтому, в соответствии с формулой индукции линейного провода, величина вклада в общую индукцию каждого провода равна B_{1}=B_{2}=\frac{\mu_{0}}{\pi} \frac{I}{a} . Каждый из векторов индукции лежит в плоскости, перпендикулярной «своему» проводу (и поэтому параллелен «чужому»), то есть эти вектора перпендикулярны друг другу. Следовательно, модуль их векторной суммы можно найти по теореме Пифагора:

B=\sqrt{B_{1}^{2}+B_{2}^{2}}=\sqrt{2} \frac{\mu_{0}}{\pi} \frac{I}{a} . Пример 2: Разомкнутая квадратная рамка A B C D A^{\prime} (см. рисунок) изготовлена из медных проводов. Площадь поперечного сечения у проводов C D и D A^{\prime} в два раза больше, чем у проводов A B и B C . Когда источник постоянного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением подключили к точкам A и A^{\prime} , величина индукции магнитного поля в центре квадрата (точке O ) оказалась равна B . Если тот же источник подключить к точкам A и C , предварительно замкнув квадрат в точках A и A^{\prime} , то величина индукции станет равна B^{\prime} . Найти отношение \frac{B^{\prime}}{B} .

image.png

Решение: Пусть сопротивление провода C D \quad R_{C D}=R . Тогда очевидно R_{D A^{\prime}}=R , R_{A B}=R_{B C}=2 R , и ток в контуре равен I=\frac{U}{6 R} , где U - напряжение, создаваемое источником. Индукция магнитного поля, создаваемого каждой из сторон квадрата в точке O , одинакова по величине и направлению. Следовательно, если величину этой индукции обозначить B_{1} , то B=4 B_{1} . При подключении напряжения U к точкам A и C по проводам A B и B C потечет ток I_{1}^{\prime}=\frac{U}{4 R}=\frac{3}{2} I , а по проводам C D и D A^{\prime}- ток I_{2}^{\prime}=\frac{U}{2 R}=3 I . Величина индукции поля, создаваемая каждым из проводов в точке O , увеличится пропорционально току. Но теперь направление векторов индукции поля, создаваемого участками A B C и C D A^{\prime} , противоположны. Поэтому B^{\prime}=2 \cdot 3 B_{1}-2 \cdot \frac{3}{2} B_{1}=3 B_{1}=\frac{3}{4} B . Значит, \frac{B^{\prime}}{B}=0,75 .

Два длинных прямых провода натянуты параллельно на расстоянии 40 см друг от друга. По проводам текут сонаправленные электрические токи с силами 5 А и 3 А. Найдите величину индукции магнитного поля в точке, расположенной в плоскости проводов точно между ними. Ответ запишите в мкТл.

Два длинных прямых провода натянуты параллельно на расстоянии 40 см друг от друга. По проводам текут противоположно направленные электрические токи с силами 5 А и 3 А. Найдите величину индукции магнитного поля в точке, расположенной в плоскости проводов точно между ними. Ответ запишите в мкТл.