Графики Часть 1: Графики

Задача 3

Условие

Два автомобиля одновременно начинают движение из пункта A в пункт B по прямолинейной дороге. Известно, что первый автомобиль едет с постоянной скоростью \vartheta_1 не останавливаясь до пункта B. В пункте B он останавливается и ждёт прибытия второго автомобиля. Второй автомобиль движется с постоянной скоростью \vartheta_2 , меньшей чем \vartheta_1 . Через некоторое время он останавливается, и, когда первый автомобиль достигает пункта B, вновь продолжает движение с той же скоростью \vartheta_2 . На рисунке приведен график зависимости расстояния между автомобилями от времени вплоть до момента t_1 = 4 мин. В момент времени t_2 = 14 мин. автомобили встретились.

1. Определите скорости автомобилей \vartheta_1 и \vartheta_2 .

2. В течение какого времени \Delta t второй автомобиль покоился?

3. Найдите расстояние L между пунктами A и B.

37 Решение

Пусть T_1 - время пути первого; T_2 - время пути второго; \tau_2 - время второго до остановки.

По условию T_1 = \tau_2 + \Delta t А) понятно, что T_2 = t_2 = 14 мин Б) из графика видно, что точка излома \tau_2 = 2 мин - время \quad 2 - ого \quad до \quadостановки \vartheta_{отн за это время} = \vartheta_1 - \vartheta_2 За это время расстояние между авто по графику стало S_1 = 1,2 км S_1 = (\vartheta_1 - \vartheta_2)\tau_2 (1) В) Из графика видно, что 1 авто за следующие 2 мин уехал от 2-ого на расстояние S_2 = 4,2 км - 1,2 км = 3км Тогда \vartheta_1 = \frac{S_2}{\tau_2} = \frac{3км}{\frac{2}{60} ч} = 90 \frac{км}{ч} = 1,5 \frac{км}{мин} Из (1) 1,2 км = \left(1,5 \frac{км}{мин} - \vartheta_2\right)2 мин \frac{1,2км}{2мин} = 1,5 \frac{км}{мин} - \vartheta_2 \vartheta_2 = (1,5 - 0,6) \frac{км}{мин} = 0,9 \frac{км}{мин} Г) Запишем формулы для расчета пути из А в В L = \vartheta_1 T = \vartheta_1 (\tau_2 + \Delta t) (2) L = \vartheta_2 (T_2 - \Delta t) (3) Приравняем правые части и найдем время остановки \vartheta_1 (\tau_2 + \Delta t) = \vartheta_2 (T_2 - \Delta t) \vartheta_1 \tau_2 + \vartheta_1 \Delta t = \vartheta_2 T_2 - \vartheta_2 \Delta t \vartheta_1 \Delta t + \vartheta_2 \Delta t = \vartheta_2 T_2 - \vartheta_1 \tau_2 \Delta t = \frac{\vartheta_2 T_2 - \vartheta_1 \tau_2}{\vartheta_1 + \vartheta_2} \Delta t = \frac{0,9 \frac{км}{мин} \cdot 14мин - 1,5 \frac{км}{мин} \cdot 2мин}{(0,9 + 1,5) \frac{км}{мин}} = 4 мин L = \vartheta_1 (\tau_2 + \Delta t) = 1,5 \frac{км}{мин} (2мин + 4мин) = 9км

Ответ \vartheta_1 = 1,5 \frac{км}{мин} ; \vartheta_2 = 0,9 \frac{км}{мин} ; \Delta t = 4 мин; L = 9 км