Движение по окружности: Часть 5

Видео

Конспект

Задача 4.11

Условие

Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки кольцевого шоссе в одном направлении. Первый мотоциклист впервые догнал второго, сделав 4,5 круга после старта, а за 0,5 ч до этого он впервые догнал третьего мотоциклиста. Второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 ч после старта. Сколько кругов в час делает первый мотоциклист?

Решение

Пусть угловые скорости каждого из мотоциклистов равны \omega_1 , \omega_2 , \omega_3 (в рад/ч) соответственно, а их линейные скорости v_1 , v_2 и v_3 соответственно. Пусть t_1 ч момент времени, когда первый мотоциклист впервые после старта догнал второго. Поскольку первый мотоциклист проехал к этому моменту 4,5 круга, то t_1=4,5T_1=4,5\frac{2\pi}{\omega_1} . Поскольку через это время он впервые догнал второго, то второй мотоциклист за это время прошел на один круг меньше, то есть 3,5 круга, значит \omega_2 t_1=4,5\frac{2\pi}{\omega_1}\cdot \omega_2=3,5\cdot 2\pi . Отсюда получим отношение угловых скоростей \frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{7}{9}. За полчаса до момента t_1 первый мотоциклист впервые догнал третьего, то есть обогнал его на один круг. Значит, (t_1-0,5)\cdot(\omega_1-\omega_3)=2\pi. Второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 ч после старта, значит (\omega_2-\omega_3)\cdot 3=2\pi. Объединяя три полученных уравнения в систему, исключая из них \omega_2 и \omega_3 , получим квадратное уравнение относительно \omega_1 : \omega_1^2+3\pi \omega_1-3\cdot 18\pi^2=0. Решая его, найдем \omega_1=6\pi или \omega_1=-9\pi . Выбирая положительное значение \omega_1 , получим n_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi}=3 .

Ответ 3 .