Движение по окружности: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 4.5

Условие

Часы пробили полночь. Сколько раз и в какие моменты времени до следующей полуночи часовая и минутная стрелки часов будут совмещаться?

Решение

Мы можем описывать движение стрелок часов с помощью углов их поворота относительно исходного положения в полночь. Минутная стрелка совершает один полный оборот за 1 час, поэтому ее период обращения 1 ч, а угловая скорость \omega_1 = \frac{2\pi рад}{1 ч} . Часовая стрелка делает полный оборот за 12 часов, поэтому ее период обращения равен 12 часам, а угловая скорость \omega_2 = \frac{2\pi рад}{12 ч} . Пусть за время t часов минутная стрелка повернулась на угол \Delta \varphi_1=\omega_1 t , а часовая на угол \Delta \varphi_2=\omega_2 t . Через это время t часовая и минутная стрелки совместятся, если разность их углов поворота будет соответствовать целому числу полных оборотов: \Delta \varphi_1-\Delta \varphi_2=2\pi n , где n целое число ( n \in \mathbb{Z} ). Тогда \omega_1 t-\omega_2 t=2\pi n . Подставляя в это уравнение значения уловых скоростей, получим {2\pi} t-\frac{2\pi}{12} t = 2 \pi n, откуда t_n=\frac{12}{11}n . Индекс показывает порядковый номер момента, в который совместятся стрелки. Поскольку нас интересует моменты встречи от начала суток (полночь) до следующей полуночи, время 0<t_n< 24 , откуда получим 0<n<22 . Таким образом, за сутки стрелки совместятся 21 раз (22-ой раз они совместятся в полночь).

Ответ 21 раз, t = \frac{12}{11} n,~~n = 1,2, \dots, 21 .

Задача 4.6

Условие

Через сколько минут после того, как часы показывали 4 ч, минутная стрелка догонит часовую стрелку?

Решение

Угловая скорость минутной стрелки равна \omega_1 = 2\pi рад/ч, а угловая скорость часовой стрелки \omega_2 = \frac{2\pi}{12} рад/ч. В начальный момент времени (4 часа по часам) угол между стрелками составляет \Delta\varphi=\frac{2\pi}{3} рад. Пусть минутная стрелка догонит часовую стрелку через t часов. За это время минутная стрелка повернется на угол \Delta \varphi_1=\omega_1 t , а часовая на угол \Delta \varphi_2=\omega_2 t . Поскольку через время t минутная стрелка догонит часовую, то \Delta\varphi=\omega_1 t-\omega_2 t . По аналогии с прямолинейным движением, можно было бы ввести понятие угловой скорости сближения, или относительной угловой скорости, равной \Delta \omega=\omega_1-\omega_2 . Тогда угол между стрелкаим уменьшается с угловой скоростью сближения, и \Delta\varphi=\Delta \omega t= (\omega_1-\omega_2) t . Подставляя в это уравнение все известные величины, получим \frac{2\pi}{3}=2\pi \left(1-\frac{1}{12} \right) t, откуда t=\frac{4}{11}\text { ч}=21\frac{9}{11} мин.

Ответ через 21 \frac{9}{11} мин.

Задача 4.7

Условие

Вася и Петя бегают на коньках по кругу с постоянными скоростями. Когда они бегут в одном направлении, Вася догоняет Петю каждые 12 минут, а когда они бегут навстречу друг другу, то встречаются каждые 4 минуты. За сколько минут Вася пробегает круг?

Решение

Эту задачу также удобно решать с использованием угловых скоростей. Пусть угловые скорости Васи и Пети равны соответственно \omega_1 и \omega_2 рад/мин. При движении в одном направлении Вася догоняет Петю каждые t_1=12 мин, то есть за время t_1 Вася проходит на один полный оборот больше, чем Петя: (\omega_1-\omega_2)t_1=2\pi . При движении навстречу друг другу они встречаются каждые 4 мин, то есть за это время t_1 Вася и Петя с сумме проходят один полный оборот: (\omega_1+\omega_2)t_2=2\pi . Получим следующую систему уравнений: \left\{\begin{array}{l}

\left(\omega_1 + \omega_2 \right)\cdot 4 = 2\pi, \\

\left(\omega_1 - \omega_2 \right)\cdot 12 = 2\pi, \\

\end{array}\right. решая которую, найдем \omega_1 = \frac{\pi}{3} , \omega_2 = \frac{\pi}{6} . Отсюда следует, что Вася движется по окружности с периодом обращения T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 6 (мин).

Ответ 6 .