Движение по окружности: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 4.8

Условие

По окружности движутся два тела: первое тело проходит круг на 2 с быстрее второго. Если тела движутся в одном направлении, то они встречаются через каждые 60 с. Какую часть окружности проходит каждое тело за 1 с.?

Решение

Пусть угловые скорости первого и второго тел равны соответственно \omega_1 и \omega_2 рад/с, а их периоды обращения равны T_1=\frac{2\pi}{\omega_1} с и T_2=\frac{2\pi}{\omega_2} с соответственно. Так как первое тело проходит круг на 2 с быстрее второго, то T_2-T_1=2 , или \frac{2\pi}{\omega_2}-\frac{2\pi}{\omega_1}=2 . Известно, что если тела движутся в одном направлении, то они встречаются через каждые 60 с. За это время одно из них догоняет другого на круг, то есть совершает на один полный оборот больше, чем другое: (\omega_1-\omega_2)\cdot 60=2\pi . Решим эти два уравнения в системе. Умножив первое уравнение на \omega_1 \omega_2 , получим 2\pi(\omega_1-\omega_2)=2\omega_1 \omega_2 . Заменяя разность уловых скоростей из второго уравнения, получим, с учетом второго уравнения, систему \left\{\begin{array}{l}

\omega_1 - \omega_2 = \frac{\pi}{30}, \\

\omega_1 \cdot \omega_2 = \frac{(2\pi)^2}{120}. \\

\end{array}\right. Выражая из первого уравнения \omega_1 и подставляя во второе, получим квадратное уравнение \omega_2^2+\frac{\pi}{30}\omega_2-\frac{\pi^2}{30}=0, решая которое, найдем \omega_2=\frac{\pi}{6} рад/с или \omega_2=-\frac{\pi}{5} рад/с. Выбирая положительное значение \omega_2 , получим \omega_1=\frac{\pi}{5} рад/с. Тогда за 1 с тела проходят \frac{\omega_1 \cdot 1 с}{2\pi}=\frac{\pi}{5\cdot 2\pi}=\frac{1}{10} часть окружности и \frac{\omega_2 \cdot 1 с}{2\pi}=\frac{\pi}{6\cdot 2\pi}=\frac{1}{12} часть окружности соответственно.

Ответ \frac{1}{10} ; \frac{1}{12} .

Задача 4.9

Условие

Две точки движутся по двум окружностям, радиусы которых относятся как 1:6. Найдите скорость движения каждой точки, если за 10 с точка, движущаяся по большей окружности, прошла на 2 м больше и совершила при этом в 5 раз меньше оборотов.

Решение

Пусть радиус большей окружности равен R , а радиус меньшей r . По условию задачи R = 6 r . Пусть \omega_1 угловая скорость точки, движущейся по меньшей окружности, а \omega_2 угловая скорость точки, движущейся по большей окружности. Линейные скорости точек соответственно равны v_1 = \omega_1 r и v_2 = \omega_2 R . За t=10 с вторая точка прошла на 2 м больше, чем первая, значит v_2 t-v_1 t=10(v_2-v_1)=2 , или 5(v_2-v_1)=1 . Периоды обращения первой и второй точек равны соответственно T_1=\frac{2\pi}{\omega_1} с и T_2=\frac{2\pi}{\omega_2} с, тогда за время t первая совершит n_1=\frac{t}{T_1} оборотов, а вторая n_2=\frac{t}{T_2} оборотов, причем n_1=5n2 . Отсюда получим \omega_1=5\omega_2 . Тогда v_1 = \omega_1 r =5\omega_2 r , v_2 = \omega_2 R=\omega_2 \cdot 6r=6\omega_2 r . Из этого получим \omega_2 r=\frac{v_1}{5}=\frac{v_2}{6} , то есть 6v_1=5v_2 . Тогда, с учетом этого соотношения, 5(v_2-v_1)=5v_2-5v_1=6v_1-5v_1=v_1=1 (м/с), а v_2=\frac{6}{5}v_1=\frac{6}{5} (м/с).

Ответ 1 м/с, \frac{6}{5} м/с.