Задачи на проценты: Семинар 1

Процент от числа по определению есть его сотая часть. Процент - величина относительная. Всегда нужно понимать, от какого числа считается процент. Например, если известно, что число B составляет 20\% от числа A , то можем составить пропорцию \frac{A}{B}=\frac{100\%}{20\%} , откуда B=0,2A . В общем случае, если число B составляет r\% от числа A , то B=A\cdot \frac{r}{100} . Коэффициент \frac{r}{100} определяет долю, которую составляет число B от числа A .

Если известно, что число B на r\% больше числа A , то за 100\% мы берем то число, с которым выполняется сравнение (в данном случае число A ). Составляя пропорцию \frac{A}{B}=\frac{100\%}{100\%+r\%} , получим B=A\cdot \left(1+\frac{r}{100}\right) . Выражение в скобках удобно обозначить за отдельную переменную k . Тогда B=A\cdot k , то есть число B в k раз больше числа A . Отметим, что формулировки <<число B на r\% больше числа A >> и <<число B в k раз больше числа A >>, где k=1+\frac{r}{100} , являются эквивалентными. Если сказано, что число B на r\% меньше числа числа A , то в выражении для коэффициента k знак <<плюс>> изменится на <<минус>>. Например, если число B на 30\% больше числа A , то B=\left(1+\frac{30}{100}\right)A=1,3A , а если число C на 40\% меньше числа числа A , то C=\left(1-\frac{40}{100}\right)A=0,6A .

Проценты в задачах на стоимость товаров

Задача 1.1

Условие

Летом, в связи с увеличением спроса, цена на минеральную воду повысилась на 10\% . Осенью, в связи с уменьшением спроса, цена понизилась на 10\% . Как (на сколько процентов) изменилась цена на минеральную воду по сравнению с первоначальной?

Решение

Пусть исходная цена на минеральную воду была p . После летнего повышения цена стала p_1 = \left (1+\frac{10}{100} \right) p=1,1p . После осеннего понижения цена составила p_2 = \left(1 - \frac{10}{100}\right) p_1 = 0,9p_1 = 0,9\cdot 1,1p=0,99p. Сравнивая этот результат с первоначальной ценой p , приходим к выводу, что она понизилась на 1\% относительно первоначальной.

Ответ понизилась на 1\% .

Задача 1.2

Условие

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4\% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение

Пусть исходная стоимость акций компании была равна p . Пусть изменение их стоимости в понедельник и вторник происходило на r\% . Тогда в понедельник после повышения стоимость акций стала p_1 = p\cdot \left (1+\frac{r}{100} \right) . После снижения во вторник их стоимость составила p_2 = p_1\cdot \left(1 - \frac{r}{100}\right) = p\cdot \left (1+\frac{r}{100} \right)\left(1 - \frac{r}{100}\right)=p\cdot \left (1-\left(\frac{r}{100}\right)^2 \right). По условию, в результате всех изменений стоимость акций снизилась на 4\% относительно исходной, то есть стала равной p_2=0,96p . Получаем уравнение 1-\left(\frac{r}{100}\right)^2=0,96, решая которое и оставляя только положительный корень, найдем r=20 .

Ответ на 20\% .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 1.3

Условие

За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8\% . В следующем году выпуск увеличился на 25\% . На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным?

Решение

Пусть первоначальный объем выпуска продукции предприятия составлял A . Тогда после увеличения за первый год объем выпуска стал равным A_1 = p\cdot \left (1+\frac{8}{100} \right)=1,08A . После очередного увеличения за второй год объем выпуска составил A_2 = \left(1 + \frac{25}{100}\right) \cdot A_1 = 1,25 A_1=1,25\cdot 1,08 A=1,35A . Сравнивая этот результат с первоначальным объемом выпуска A , приходим к выводу, что он повысился на 35\% относительно первоначального.

Ответ на 35\% .

Задача 1.4

Условие

На рынке костюм, состоящий из пиджака и брюк, стоит на 20\% дешевле, чем такой же костюм в магазине, причем брюки стоят на 35\% дешевле, чем в магазине, а пиджак - на 10\% . Сколько процентов стоимости этого костюма в магазине составляет стоимость пиджака?

Решение

Пусть x - цена брюк в магазине, y - цена пиджака в магазине, тогда цена костюма в магазине равна x + y . Цена костюма на рынке по условию задачи будет 0,8 (x + y) . С другой стороны, на рынке цена брюк равна 0,65 x , а цена пиджака - 0,9 y . Отсюда следует, что цена костюма на рынке составит 0,65 x + 0,9 y . Таким образом, получим уравнение 0,65 x + 0,9 y = 0,8 (x + y), откуда y=1,5x . В задаче требуется найти отношение \frac{y}{x + y} и выразить его в процентах. Тогда, учитывая связь x и y , получим \frac{y}{x + y} \cdot 100\%= \frac{1,5x}{x+1,5x} \cdot 100\%= \frac{1,5}{2,5} \cdot 100\%=60\%. Значит, стоимость пиджака составляет 60 \% стоимости костюма.

Ответ 60\% .

Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.