Растворы

Массовой концентрацией вещества в растворе, смеси или сплаве называется отношение массы данного вещества к массе всего раствора, смеси или сплава. Говорят также об объемной концентрации вещества в растворе - отношении объема вещества к объему всего раствора. Физически более осмысленным является понятие именно массовой концентрации (из-за наличия закона сохранения массы вещества, но отсутствия закона сохранения объема), однако в задачах по математике мы будем пренебрегать изменением плотности веществ при их смешивании и также говорить об объемной концентрации. Процентная концентрация (массовая или объемная) равна произведению концентрации (массовой или объемной) на $100\% $. В задачах часто будем опускать слово <<процентная>> и понимать просто под концентрацией именно процентную концентрацию. Задачи на растворы Задача 1.1 Условие В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение Концентрация исходного раствора равна $26\%$. Тогда в 7 литрах раствора содержалось $7\cdot 0,26$ литров вещества. При добавлении 6 литров воды количество вещества не изменилось, а объем раствора стал равен 13 л. Тогда новая процентная концентрация равна $\frac{7\cdot 0,26}{13}\cdot 100\%=14\%$. Ответ $14\%$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 1.2 Условие В сосуде содержалось 15 л соляного раствора с процентной концентрацией $40\%$. В сосуд долили некоторое количество воды и получили раствор с концентрацией $30\%$. Сколько литров воды долили в сосуд? Решение Концентрация исходного раствора равна $40\%$. Тогда в 15 литрах раствора содержалось $15\cdot 0,4$ литров вещества. Пусть в сосуд долили $x$ литров воды. При добавлении воды количество вещества (соли) не изменилось, а объем раствора стал равен $(15+x)$ л. Тогда новая процентная концентрация равна $$\frac{15\cdot 4}{15+x}\cdot 100\%=30\%.$$ Решая полученное уравнение, найдем $x=5$. Значит, в сосуд добавили 5 литров воды. Ответ $5$. Задача 1.3 Условие Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение Пусть масса первого раствора равна $x$, тогда вещества в нем содержится $0,15x$. Масса второго раствора тоже равна $x$, тогда вещества в нем содержится $0,19x$. Масса смеси равна $2x$, а масса вещества в полученном растворе составляет $0,15x+0,19x$. Значит, процентная концентрация вещества в полученном растворе равна $$\frac{0,15x+0,19x}{2x}\cdot 100\%=\frac{0,34}{2}\cdot 100\%=17\%.$$ Ответ $17\%$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 1.4 Условие Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение Объем первого раствора равен $4$ л, тогда вещества в нем содержится $4\cdot0,15$ л. Объем второго раствора равен $6$ л, тогда вещества в нем содержится $6\cdot0,25$ л. Объем смеси равен $4+6=10$ л, а объем вещества в полученном растворе составляет $4\cdot0,15+6\cdot0,25$ л. Значит, процентная концентрация вещества в полученном растворе равна $$\frac{4\cdot0,15+6\cdot0,25}{10}\cdot 100\%=21\%.$$ Ответ $21$. Задача 1.5 Условие Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй - 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $68\%$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $70\%$ кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Решение Пусть процентная концентрация первого раствора равна $100x$, второго - $100y$. Тогда в первом растворе $30x$ кг кислоты, а во втором - $20y$ кг. Масса смеси этих растворов будет равна $30+20=50$ кг, а масса кислоты в полученном растворе соствит $0,68\cdot 50$ кг. При смешивани равных масс $m$ кг этих растворов масса кислоты в конечном растворе будет равна $0,7\cdot 2m$. Используя закон сохранения массы вещества (кислоты) при смешивании растворов, получаем систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} 30x+20y=0,68\cdot 50,\\ mx+my =0,70\cdot 2m. \end{array} \right. $$ Сокращая второе уравнение на $m$ и выполняя преобразования, получаем: $$ \left\{ \begin{array}{l} x+y=1,4,\\ 30x+20y=34, \end{array}\right. $$ откуда найдем $30x=18$. Значит, масса кислоты в первом сосуде равна $18$ кг. Ответ $18$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 1.6 Условие Смешав $41$-процентный и $63$-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили $49$-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг $50$-процентного раствора той же кислоты, то получили бы $54$-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов...