Растворы: Семинар 1

Массовой концентрацией вещества в растворе, смеси или сплаве называется отношение массы данного вещества к массе всего раствора, смеси или сплава. Говорят также об объемной концентрации вещества в растворе - отношении объема вещества к объему всего раствора. Физически более осмысленным является понятие именно массовой концентрации (из-за наличия закона сохранения массы вещества, но отсутствия закона сохранения объема), однако в задачах по математике мы будем пренебрегать изменением плотности веществ при их смешивании и также говорить об объемной концентрации. Процентная концентрация (массовая или объемная) равна произведению концентрации (массовой или объемной) на 100\% . В задачах часто будем опускать слово <<процентная>> и понимать просто под концентрацией именно процентную концентрацию.

Задачи на растворы

Задача 1.1

Условие

В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение

Концентрация исходного раствора равна 26\% . Тогда в 7 литрах раствора содержалось 7\cdot 0,26 литров вещества. При добавлении 6 литров воды количество вещества не изменилось, а объем раствора стал равен 13 л. Тогда новая процентная концентрация равна \frac{7\cdot 0,26}{13}\cdot 100\%=14\% .

Ответ 14\% .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 1.2

Условие

В сосуде содержалось 15 л соляного раствора с процентной концентрацией 40\% . В сосуд долили некоторое количество воды и получили раствор с концентрацией 30\% . Сколько литров воды долили в сосуд?

Решение

Концентрация исходного раствора равна 40\% . Тогда в 15 литрах раствора содержалось 15\cdot 0,4 литров вещества. Пусть в сосуд долили x литров воды. При добавлении воды количество вещества (соли) не изменилось, а объем раствора стал равен (15+x) л. Тогда новая процентная концентрация равна \frac{15\cdot 4}{15+x}\cdot 100\%=30\%. Решая полученное уравнение, найдем x=5 . Значит, в сосуд добавили 5 литров воды.

Ответ 5 .

Задача 1.3

Условие

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение

Пусть масса первого раствора равна x , тогда вещества в нем содержится 0,15x . Масса второго раствора тоже равна x , тогда вещества в нем содержится 0,19x . Масса смеси равна 2x , а масса вещества в полученном растворе составляет 0,15x+0,19x . Значит, процентная концентрация вещества в полученном растворе равна \frac{0,15x+0,19x}{2x}\cdot 100\%=\frac{0,34}{2}\cdot 100\%=17\%.

Ответ 17\% .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 1.4

Условие

Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение

Объем первого раствора равен 4 л, тогда вещества в нем содержится 4\cdot0,15 л. Объем второго раствора равен 6 л, тогда вещества в нем содержится 6\cdot0,25 л. Объем смеси равен 4+6=10 л, а объем вещества в полученном растворе составляет 4\cdot0,15+6\cdot0,25 л. Значит, процентная концентрация вещества в полученном растворе равна \frac{4\cdot0,15+6\cdot0,25}{10}\cdot 100\%=21\%.

Ответ 21 .

Задача 1.5

Условие

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй - 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68\% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70\% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение

Пусть процентная концентрация первого раствора равна 100x , второго - 100y . Тогда в первом растворе 30x кг кислоты, а во втором - 20y кг. Масса смеси этих растворов будет равна 30+20=50 кг, а масса кислоты в полученном растворе соствит 0,68\cdot 50 кг. При смешивани равных масс m кг этих растворов масса кислоты в конечном растворе будет равна 0,7\cdot 2m . Используя закон сохранения массы вещества (кислоты) при смешивании растворов, получаем систему уравнений: \left\{ \begin{array}{l}

30x+20y=0,68\cdot 50,\\

mx+my =0,70\cdot 2m.

\end{array} \right. Сокращая второе уравнение на m и выполняя преобразования, получаем: \left\{ \begin{array}{l}

x+y=1,4,\\

30x+20y=34,

\end{array}\right. откуда найдем 30x=18 . Значит, масса кислоты в первом сосуде равна 18 кг.

Ответ 18 .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 1.6

Условие

Смешав 41 -процентный и 63 -процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 49 -процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50 -процентного раствора той же кислоты, то получили бы 54 -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 41 -процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение

Пусть масса первого раствора равна x кг, второго - y кг. Тогда в первом растворе 0,41x кг кислоты, а во втором - 0,63y кг. К смеси этих растворов добавили 10 кг чистой воды, тогда масса конечного раствора оказалась равна (x+y+10) кг, а масса кислоты в полученном растворе соствит 0,49(x+y+10) кг. Если бы вместо воды к смеси исходных растворов добавили 10 кг 50\% раствора кислоты, то к кислоте, содержащейся в исходных растворах, добавилось бы еще 0,5\cdot 10=5 кг кислоты, масса конечного раствора снова оказалась бы равной (x+y+10) кг, а кислоты в нем было бы 0,54(x+y+10) . Используя закон сохранения массы вещества при смешивании растворов, получаем систему уравнений: \left\{ \begin{array}{l}

0,41x+0,63y=0,49(x+y+10),\\

0,41x+0,63y+5 =0,54(x+y+10),

\end{array} \right. решая которую, найдем x=35 , y=55 . Значит, масса первого, 41 -процентного раствора была равна 35 кг.

Ответ 35 .