Сплавы

Задачи на сплавы Теперь рассмотрим задачи, связанные со сплавами сплавы. В сплавах говорят обычно не о концентрации, а о массовой доле вещества, содержащегося в сплаве, равной отношению массы данного вещества ко всей массе сплава. Аналогично, процентное содержание вещества равно массовой доле, умноженной на $100\%$. В целом задачи, связанные с расчетами сплавов, аналогичны задачам на растворы. Задача 2.1 Условие Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 60 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди и получили латунь, в которой $70\%$ меди. Определите процент содержания меди в первоначальном куске латуни. Решение Пусть масса цинка в первоначальном куске латуни равна $x$ кг. Тогда масса меди в нем равна $(x+60)$ кг, а масса всего первоначального куска латуни - $(2x+60)$ кг. Когда этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди, получили новый сплав массой $2x+160$ кг, в котором $x+160$ кг меди. Тогда $$\frac{x+160}{2x+160}\cdot 100\%=70\%.$$ Решая это уравнение, найдем $x=120$. Тогда процент содержания меди в первоначальном куске равна $\frac{x+60}{2x+60}\cdot 100\%=\frac{180}{300}\cdot 100\%=60\%$. Ответ $60\%$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 2.2 Условие Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит цинка на 80 кг меньше, чем меди. Этот кусок латуни сплавили со 120 кг меди и получили латунь, в которой $75\%$ меди. Определите массу (в килограммах) первоначального куска латуни. Решение Пусть масса меди в первоначальном куске латуни равна $x$ кг. Тогда масса цинка в нем равна $(x-80)$ кг, а масса всего первоначального куска латуни - $(2x-80)$ кг. Когда этот кусок латуни сплавили со 120 кг меди, получили новый сплав массой $2x+40$ кг, в котором $x+120$ кг меди. Тогда $$\frac{x+120}{2x+40}\cdot 100\%=75\%.$$ Решая это уравнение, найдем $x=180$. Тогда масса первоначального куска латуни равна $2x-80=2\cdot 180-80=280\%$. Ответ $280$. Задача 2.3 Условие В куске сплава меди с цинком массой 6 кг было $15\%$ цинка. Данный кусок сплавили с куском меди и получили новый сплав с содержанием цинка $10\%$. Какова была масса куска меди? Решение Если содержание цинка в исходном сплаве было $15\%$, то масса цинка составляла $6\cdot 0,15=0,9$ кг, а масса меди. Пусть масса куска меди равна $x$ кг. Тогда $$\frac{0,9}{x+6}\cdot 100\%=10\%.$$ Решая полученное уравнение, найдем $x=3$. Ответ $3$ кг. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 2.4 Условие В куске сплава меди и цинка было 3 кг цинка. После того, как этот кусок сплавили с 8 кг меди, доля цинка составила $25\%$. Каково было процентное содержание цинка в исходном сплаве? Решение Пусть масса исходного сплава равна $x$ кг. Масса цинка в нем равна 3 кг, а масса меди - $(x-3)$ кг. После сплавления его с 8 кг меди получился новый сплав массой $(x+8)$ кг, в котором те же 3 кг цинка. Тогда $$\frac{3}{x+8}\cdot 100\%=25\%.$$ Решая полученное уравнение, найдем $x=4$. Тогда процентное содержание цинка в исходном сплаве было равно $\frac{3}{x}\cdot 100\%=\frac{3}{4}\cdot100\%=75\%$. Ответ $75\%$. Задача 2.5 Условие Имеются два сплава. Первый содержит $10\%$ никеля, второй - $30\%$ никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий $25\%$ никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго? Решение Пусть масса первого сплава $x$ кг, тогда масса никеля в первом сплаве равна $0,1x$ кг; пусть масса второго сплава $y$ кг, тогда масса никеля во втором сплаве $0,3 y$ кг. Масса третьего сплава равна $x+y=200$ кг, а масса никеля в нем равна $0,25\cdot 200=50$ кг. Используя закон сохранения массы для никеля, получим систему уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} x+y=200,\\ 0,1x+0,3y=50. \end{array}\right. $$ Отсюда находим, что $x=50$ кг, а $y=150$ кг, следовательно масса первого сплава на 100 кг меньше второго. Ответ на $100$ кг. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение. Задача 2.6 Условие Первый сплав содержит $10\%$ меди, второй — $40\%$ меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $30\%$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Решение Пусть масса первого сплава $x$ кг, тогда масса меди в первом сплаве равна $0,1x$ кг. Масса второго сплава равна $(x+3)$ кг, масса меди во втором сплаве $0,4 (x+3)$ кг. Масса третьего сплава равна $(2x+3)$ кг, а масса меди в нем равна $0,3(2x+3)$ кг. Используя закон сохранения массы для меди, получим уравнение $$ 0,3(2x+3)=0,1x+0,4(x+3).$$ Решая его, находим $x=3$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $2x+3=9$ кг. Ответ $9$ кг.