Задачи на проценты: Семинар 1

Задача 1.5

Условие

При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35\% больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20\% , а ботинки - на 70\% . Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Решение

Пусть x - цена лыж 2 года назад, y - цена ботинок 2 года назад, тогда цена лыж с ботинками 2 года назад была равна x + y . Цена лыж с ботинками сейчас по условию задачи составляет 1,35 (x + y) . С другой стороны, сейчас цена лыж равна 1,2 x , а цена ботинок - 1,7 y . Отсюда следует, что цена лыж с ботинками сейчас составит 1,2 x + 1,7 y . Таким образом, получим уравнение 1,2 x + 1,7 y = 1,35 (x + y), откуда y=\frac{3}{7}x . В задаче требуется найти отношение \frac{x}{x + y} и выразить его в процентах. Тогда, учитывая связь x и y , получим \frac{x}{x + y} \cdot 100\%= \frac{x}{x+\frac{3}{7}x} \cdot 100\%= \frac{7}{10} \cdot 100\%=70\%. Значит, стоимость лыж 2 года назад составляла 70 \% стоимости лыж с ботинками.

Ответ 70\% .

Задача 1.6

Условие

Магазин закупил некоторое количество товара и начал его реализацию по цене на 25\% выше цены, назначенной производителем, чтобы покрыть затраты, связанные с транспортировкой, и другие дополнительные расходы. Оставшуюся после реализации часть товара магазин уценил на 16\% с тем, чтобы покрыть только затраты на закупку этой части товара у производителя и его транспортировку. Сколько процентов от цены, назначенной производителем, составляла стоимость транспортировки товара?

Решение

Пусть p - назначенная производителем цена товара, и магазин начал реализацию этого товара по цене p_1=1,25p , причем наценка в 0,25p покрывала транспортировку и другие дополнительные расходы. После уценки цена товара стала равной p_2=0,84p_1=0,84\cdot 1,25p=1,05p , причем наценка в 0,05p покрывала только транспортировку. Значит, стоимость транспортировки составляла 0,05p , то есть 5\% от цены, назначенной производителем.

Ответ 5\% .

Задача 1.7

Условие

Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50\% , то общая сумма платежа увеличилась бы на 35\% . Если бы электричество подорожало на 50\% , то общая сумма платежа увеличилась бы на 10\% . Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?

Решение

Пусть x - размер ежемесячной платы за коммунальные услуги, y - размер ежемесячной платы за телефон, z - размер ежемесячной платы за электричество, тогда общая сумма платежа составляет x+y+z . Из условия задачи получаем систему уравнений: \left\{\begin{array}{l}

1,5x+y+z=1,35 (x+y+z), \\

x+y+1,5z = 1,1(x+y+z),

\end{array}\right. откуда после серии преобразований получим z=2y и x=7y .

В задаче требуется найти отношение \frac{y}{x + y + z} и выразить его в процентах. Тогда, учитывая связь x , y и z , получим \frac{y}{x + y +z} \cdot 100\%= \frac{y}{7y+y+2y} \cdot 100\%= \frac{1}{10} \cdot 100\%=10\%. Значит, размер ежемесячной платы за телефон составляет 10 \% от общей суммы платежа.

Ответ 10\% .