Задачи на проценты: Семинар 1

Проценты в задачах на производительность

Задача 1.8

Условие

За год работы предприятия объем дневной выработки продукции вырос на p\% , а за следующий год — еще на (p+50)\% . Определите, на сколько процентов увеличилась дневная выработка за первый год, если известно, что за 2 года она возросла в общей сложности втрое.

Решение

Пусть x - исходный объем дневной выработки (в начале первого года). Тогда через год объем дневной выработки составлял x_1=x\cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) , а через два года стал равен

x_2=x_1\cdot \left(1 + \frac{p+50}{100}\right)=x\cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1,5 + \frac{p}{100}\right). Так как объем дневной выработки утроился за два года, то x_2=3x . Вводя обозначение q=\frac{p}{100} , получаем уравнение (1+q)\left(1,5 + q \right)=3, которое сводится к квадратному уравнению 2q^2+5q-3=0. Оставляем только положительный корень уравнения и получаем q=0,5 . Значит, выработка дневной продукции за первый год увеличилась на p=0,5\cdot 100\%=50\%.

Ответ 50\% .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 1.9

Условие

В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года завод выпускал ежемесячно 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение

Пусть x=600 изделий - исходный объем выпуска продукции. Пусть каждое увеличеие объема выпуска происходило на r\% . Тогда после второго увеличения объем выпуска стал равным x\cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 . По условию, конечное значение объема выпуска составляет 726 изделий. Получим уравнение 600\cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2=726, решая которое и оставляя только положительный корень, получим r=10 . Значит, каждое увеличеие объема выпуска происходило на 10\% .

Ответ 10\% .

Задача 1.10

Условие

Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 7:6:5 . Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 4\% , а из второй - на 2\% . На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?

Решение

Пусть объемы ежегодной добычи первой, второй и третьей скважин соответственно равны 7x , 6x и 5x . Пусть объем ежегодной добычи третьей шахты увеличится на r\% . Тогда после планового изменения новые объемы добычи соответственно составят 7x \cdot 0,96 , 6x \cdot 0,98 и 5x \cdot k , где k=1+q=1 + \frac{r}{100} , q=\frac{r}{100} . Поскольку общий объем добычи нефти, равный 7x+6x+5x=18x , не должен измениться, получаем уравнение 18x = 7x \cdot 0,96 + 6x \cdot 0,98x + 5x \cdot k. После сокращения на x и замены k=1+q уравнение будет содержать только одно неизвестное q . Решая его, находим q=0,08 , значит r = 8\% .

Ответ 8\% .

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится - посмотрите её решение.

Задача 1.11

Условие

Цистерна заполняется керосином за 2 часа с помощью трех насосов, работающих вместе. Производительности насосов относятся как 1:2:7 . Сколько процентов объема цистерны будет заполнено за 1 час 12 минут совместной работы первого и третьего насосов?

Решение

Пусть производительности первого, второго и третьего насосов соответственно равны x , 2x и 7x . После совместной работы всех трех насосов в течение 2 часов цистерна заполнится полностью, значит 2\cdot(x+2x+7x)=1 (одна единица работы), откуда x=\frac{1}{20} . Тогда за 1 час 12 минут, то есть за \frac{6}{5} часа, первый и третий насосы с суммарной производительностью x+7x=8x выполнят 8x\cdot \frac{6}{5}=\frac{1}{20}\cdot \frac{6}{5}=\frac{48}{100} единицы работы, то есть \frac{48}{100} или 48\% объема цистерны.

Ответ 48\% .