Движение по окружности: Часть 1

Видео

Конспект

Движение по окружности

Семинар 4

Задачи на движение на окружности имеют много общего с задачами на движение по прямой, поскольку, как правило, движение тоже происходит с постоянной скоростью. Однако из-за того, что окружность является замкнутой траекторией, участники движения могут многократно встречаться при движении в одном направлении или навстречу друг другу.

Задача 4.1

Условие

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Решение

Можно считать, что они движутся по прямой, стартовав с разницей в расстоянии 7 км (расстояние вдоль трассы), причем один догоняет другого. Пусть x км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго равна (x + 21) км/ч. Время их движения до встречи t ч одинаковое. Путь, пройденный первым мотоциклистом, будет равен S_1=vt , а путь, пройденный вторым S_2=(x+21)t , причем он на 7 км больше пути, пройденного первым, то есть (x+21)t- vt=7. Решая это уравнение, найдем t=\frac{1}{3} ч, или 20 минут.

Другой способ решения: если один мотоциклист догоняет другого, как в данном случае, то скорость сближения равна разности скоростей в 21 км/ч, тогда время до встречи равно \frac{7 км}{21 км/ч}=\frac{1}{3} ч, или 20 минут.

Ответ 20 .

Задача 4.2

Условие

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть x км/ч — скорость второго автомобиля. Время, за которое первый автомобиль обогнал второй на круг, составляет п условию t=40 мин=\frac{2}{3} ч . Путь, пройденный первым автомобилем, будет равен S_1=80\cdot \frac{2}{3}=\frac{160}{3} км, а путь, пройденный вторым S_2=x\cdot \frac{2}{3}=\frac{2x}{3} км. При этом путь, пройденный первым автомобилем, больше пути, пройденного вторым, на величину, равную длине круга трассы, то есть S_1-S_2=14 км. Получим уравнение \frac{160-2x}{3}=14, откуда x=59 км/ч.

Ответ 59 .

Задача 4.3

Условие

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 46 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 5 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость первого гонщика x км/ч, скорость второго y км/ч. Каждый из гонщиков прошел 46 кругов по 4 км, то есть путь, равный 4 \cdot 46 км, за время, равное \frac{4 \cdot 46}{x} ч и \frac{4 \cdot 46}{y} ч. Известно, что первый пришел на финиш на 5 мин=\frac{1}{12} ч раньше второго, отсюда получим уравнение \frac{4 \cdot 46}{y}-\frac{4 \cdot 46}{x}=\frac{1}{12}. Кроме этого мы знаем, что первый гонщик обогнал второго на круг через 60 минут, то есть через 1 час. Это означает, что за час первый прошел на 1 круг, то есть на 4 км больше, чем второй: x=y+4 . Подставляя вместо x выражение (y+4) в первое уравнение и умножая его на 12y(y+4) , получим квадратное уравнение y^2+4y-16\cdot 46 \cdot 12=0. Решая полученное квадратное уравнение, найдем y_1=92 км/ч, y_2=-96 км/ч. В ответ, естественно, записываем только положительный корень.

Ответ 92 .

Задача 4.4

Условие

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 5 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 30 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость первого гонщика x км/ч, скорость второго y км/ч. Каждый из гонщиков прошел 60 кругов по 5 км, то есть путь, равный 5 \cdot 60=300 км, за время, равное \frac{300}{x} ч и \frac{300}{y} ч. Известно, что первый пришел на финиш на 30 мин=\frac{1}{2} ч раньше второго, отсюда получим уравнение \frac{300}{y}-\frac{300}{x}=\frac{1}{2}. Кроме этого мы знаем, что первый гонщик обогнал второго на круг через 10 минут, то есть через \frac{1}{6} часа. Это означает, что за \frac{1}{6} часа первый прошел на 1 круг, то есть на 5 км больше, чем второй: \frac{x}{6}-\frac{y}{6}=5 . Выражая x из второго уравнения, получим x=y+30 . Подставив вместо x выражение (y+30) в первое уравнение и умножая его на 2y(y+30) , получим квадратное уравнение y^2+30y-300\cdot 2 \cdot 30=0. Решая полученное квадратное уравнение, найдем y_1=120 км/ч, y_2=-150 км/ч. В ответ, естественно, записываем только положительный корень.

Ответ 120 .

В некоторых задачах движение по окужности удобно рассматривать как вращение, характеризуя изменение положения тела при движении по окружности углом \varphi поворота радиуса, проведенного к телу. Угол поворота обычно измеряют в радианах.

Вращательное движение описывают следующими величинами:

Угловая скорость \omega (циклическая частота) равномерно движущегося по окружности тела это отношение угла поворота тела к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот, то есть \omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}, где \varphi чаще всего измеряют в радианах. В общем случае неравномерного движения по окружности угловая скорость представляет собой производную угла поворота по времени: \omega = \varphi'(t).

Линейная скорость v равномерного движения по окружности это отношение длины пройденного пути (длина дуги окружности) к промежутку времени, в течение которого пройден этот путь. Линейная и угловая скорость связаны соотношением v = \omega R.

Частота обращения \nu число оборотов, совершаемых телом в единицу времени. Частота обращения связана с угловой и линейной скоростями как \omega = 2\pi \nu,~~ v = 2\pi \nu R.

Период обращения время, в течение которого тело совершает полный оборот: T = \frac{1}{\nu} = \frac{2\pi}{\omega}.