Работа и производительность труда

Рассмотрим методы решения задач на работу и производительность труда. Эти задачи близки к задачам на движение: производительность труда является аналогом скорости, работа - аналогом пройденного расстояния, ну а время остается временем. Иногда бывает удобно обозначить работу за условную единицу, однако это не всегда возможно. Лучше ввести отдельную переменную, которая в какой-то момент сократится, если действительно в данной задаче можно взять работу за единицу. Кроме того, при введении отдельной переменной удобнее отслеживать размерности тех величин, которые будут входить в уравнения. Задача 1.1 Условие Два станка работали по 4 часа, причем за это время на первом было изготовлено на 16 деталей больше, чем на втором. Определить количество деталей, изготовленных на каждом станке, если известно, что на изготовление одной детали первому станку требуется на 4 минуты меньше времени, чем второму. Решение Пусть время изготовления одной детали на втором станке равно $t$ минут, тогда время изготовления одной детали на первом станке составит $(t-4)$ минут. Производительности станков равны соответственно $\frac{1}{t-4}$ и $\frac{1}{t}$ деталей в минуту. Станки проработали по 4 часа, то есть по 240 минут, и за это время на них было изготовлено соответственно $\frac{240}{t-4}$ и $\frac{240}{t}$ деталей. Поскольку из условия мы знаем, что на первом было изготовлено на 16 деталей больше, получаем уравнение: $$\frac{240}{t-4}-\frac{240}{t}=16,$$ которое сводится к квадратному уравнению $$t^2-4t-60=0.$$ Решая его и оставляя только положительный корень, получаем, что $t=10$. Тогда на первом станке было изготовлено $\frac{240}{10-4}=40$ деталей, а на втором - $\frac{240}{10}=24$ детали. Ответ $40$ и $24$ детали. Задача 1.2 Условие Несколько рабочих могут выполнить работу за 20 часов. Если уменьшить число рабочих на 6 и увеличить производительность каждого на $100\%$, то они выполнят работу за 25 часов. Сколько рабочих было превоначально, если производительность труда у всех рабочих одинакова? Решение В данной задаче нам не сказано, в каких единицах измеряется работа, поэтому мы можем измерять ее в некоторых условных единицах, а производительность, соответственно, - в единицах в час. Пусть производительность каждого рабочего равна $x$ ед/ч, а исходное количество рабочих равно $n$. Тогда исходная производительность всех рабочих вместе равна $nx$, и за 20 часов они выполнят 1 единицу работы, то есть $$nx\cdot 20=1.$$ Если уменьшить число рабочих на 6 и увеличить производительность каждого на $100\%$ (то есть в 2 раза), то их общая производительность будет равна $(n-6)\cdot 2x$, и с такой производительностью за 25 часов они выполнят 1 единицу работы: $$(n-6)\cdot 2x\cdot 25=1.$$ Решим полученные уравнения в системе. Поделив второе на первое (или приравняв левые части уравнений), получим $2(n-6)\cdot 25=n\cdot 20$, откуда найдем $n=10$. Таким образом, первоначально было 10 рабочих. Ответ $10$. Задача 1.3 Условие Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объема 144 литра она заполняет на 10 минут быстрее, чем вторая труба? Решение Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. По условию, первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту больше, чем вторая, значит вторая пропускает на 10 литров в минуту меньше, чем первая, то есть $(x-10)$ литров в минуту. Резервуар объема 144 литра они заполняют за время $\frac{144}{x}$ и $\frac{144}{x-10}$ минут соответственно, причем по условию, время первой трубы на 10 минут меньше времени второй. Получим уравнение $$\frac{144}{x-10}-\frac{144}{x}=10,$$ которое сводится к квадратному уравнению $$x^2-10t-144=0.$$ Решая его и оставляя только положительный корень, получаем, что $x=18$. Ответ $18$.