Движение по окружности: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 4.10

Условие

Два бегуна стартуют из одной точки кольцевой дорожки стадиона, а третий бегун стартует одновременно с ними в том же направлении из диаметрально противоположной точки. Пробежав 3 круга, третий бегун впервые после старта догнал второго. Еще через 2,5 мин первый бегун впервые догнал третьего. Сколько кругов в минуту пробегает второй бегун, если первый обгоняет его один раз через каждые 6 мин?

Решение

Пусть угловые скорости каждого из бегунов равны \omega_1 , \omega_2 , \omega_3 (в рад/мин) соответственно, а их линейные скорости v_1 , v_2 и v_3 соответственно. Пусть t мин момент времени, когда третий бегун впервые после старта догнал второго. Поскольку третий бегун пробежал к этому моменту 3 круга, то t=3T_3=3\frac{2\pi}{\omega_3} . Поскольку через это время он впервые догнал второго, то (\omega_3-\omega_2)t=\pi . Здесь учтено, что третий бегун стартовал из диаметрально противоположной точки относительно второго, поэтому его начальный угол поворота относительно второго составлял \pi . Подставляя в это равенство выражение для t , получим 6\pi-6\pi\frac{\omega_2}{\omega_3}=\pi, откуда \frac{\omega_2}{\omega_3}=\frac{5}{6} или \omega_3=\frac{6}{5}\omega_2. Время, через которое первый бегун впервые догнал третьего, равно t_2=t+2,5 мин. Тогда (\omega_1-\omega_3)t_2=\pi , или (\omega_1-\omega_3)(t+2,5)=\pi. Кроме того, известно, что первый обгоняет второго один раз через каждые 6 минут, это значит, что \omega_1 \cdot 6 -\omega_2 \cdot 6 =2\pi , откуда \omega_1 =\omega_2+\frac{\pi}{3}. Подставив выражения для \omega_1 и \omega_3 во второе уравнение, получим квадратное уравнение относительно \omega_2 : 3\omega_2^2+7\pi \omega_2-10\pi^2=0. Решая его, найдем \omega_2=\pi или \omega_2=-\frac{10\pi}{3} . Выбирая положительное значение \omega_2 , получим n_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{1}{2} .

Ответ 0,5 круга в минуту.