семинар 7, сложность 1: Часть 4

Видео

Конспект

Теоретическая справка: Колебания математического маятника

4

Рассмотрим тело массой $m$, подвешенное на лёгкой нерастяжимой нити длиной $l$ (рис. [fig:4]).

Если груз отклонить от положения равновесия и отпустить, равнодействующая этих сил не будет равна нулю. Она направлена к положению равновесия, сообщая грузу тангенциальное ускорение. В результате груз начинает двигаться по дуге окружности радиусом $l$ (рис. [fig:5]).

5

В каждый момент времени можно применить второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как размерами груза можно пренебречь по сравнению с длиной нити: $$

\vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}.

$$ При движении от крайнего положения к положению равновесия скорость груза увеличивается. В положении равновесия скорость максимальна, возвращающая сила равна нулю. При движении от равновесия к крайней точке скорость уменьшается, тангенциальное ускорение направлено против скорости.

Введем горизонтальную ось $x$ с началом в точке равновесия. Второй закон Ньютона: $$

mg + \vec{T} = m \cdot \vec{a}.

$$ В проекции на ось $x$: $$

0 - T \sin \varphi = m \cdot a_x.

$$ Из геометрии задачи $\sin \varphi = \frac{x}{l}$. Упростим выражение: $$

- T \cdot \frac{x}{l} = a_x.

$$ В приближении малых углов $\varphi _{pag} \ll 1 , T \approx mg$ уравнение приобретает вид $$

-mg\cdot \frac{x}{l} = m \cdot a_x, \quad -g \frac{x}{l} = a_x.

$$ Приведем его к каноническому виду: $$

a_x + \frac{g}{l} x=0, \quad a_x + \omega ^2 \cdot x = 0.

$$ Значит, циклическая частота колебаний: $$

\omega ^2 = \frac{g}{l} ; \ \ \ \ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}.

$$ Выразим период колебаний через циклическую частоту: $$

T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.

$$

Теоретическая справка: Период колебаний математического маятника

Материальная точка массой $m$ подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длины $l$ (рис. [fig:13]). В положении равновесия на тело действуют сила натяжения нити и сила тяжести. При отклонении маятника на угол $\varphi $ от положения равновесия возникает возвращающая сила (проекция силы тяжести на касательное направление).

13

Применим второй закон Ньютона: $$

\vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}.

$$ В проекции на тангенциальную ось: $$

\left( F_\Sigma \right)_\tau = m\cdot a_\tau.

$$ Связь между линейной и угловой скоростями, тангенциальным и угловым ускорениями имеет вид: $$

\left.

\begin{array}{lll}

v = \omega \cdot l,\\

a_\tau = \beta \cdot l.

\end{array}\right.

$$ Равнодействующая сила: $$

\vec{F}_\Sigma = m \vec{g} + \vec{T}.

$$ В проекции на тангенциальную ось: $$

\left( F_\Sigma \right)_\tau = -mg \cdot \sin\varphi + 0.

$$ Окончательно получаем $$

-mg \cdot \sin\varphi = m\cdot \beta \cdot l.

$$ Выразим угловое ускорение через угловую координату: $\beta = \ddot{\varphi }$. Будем считать, что угол $\varphi $ достаточно мал. Тогда $\sin \varphi \approx \varphi_{рад}$ и полученное уравнение упрощается: $$

-g \cdot\varphi = \ddot{\varphi }\cdot l,

$$ $$

\ddot{\varphi }+ \frac{g}{l}\cdot \varphi = 0.

$$ Полученное уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний: $$

a_x + \omega ^2 x= 0.

$$ Поэтому циклическая частота $$

\omega ^2 = \frac{g}{l},\ \ \ \ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}},

$$ Период колебаний $$

T = \frac{2\pi}{\omega } = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.

$$ Формула для периода колебаний имеет практическое значение. Измерив $l$ и $T$, можно вычислить ускорение свободного падения: $$

g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}.

$$

Задача 8

Условие

За одно и то же время один математический маятник делает $40$ колебаний, а второй – $30$. Какова длина каждого маятника, если разность их длин $7$ см?

Решение

Зная время и количество колебаний, можно найти период: $$

T = \frac{t}{N}

$$ Время колебаний одинаково для обоих маятников, найдем отношение периодов: $$

\frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1}

$$ Период колебаний математического маятника: $$

T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}},

$$ $$

\left\{

\begin{array}{lll}

T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}},\\

T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}.

\end{array}\right.

$$ Найдем отношение периодов: $$

\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}.

$$ Составим систему уравнений и решим ее: $$

\left\{

\begin{array}{lll}

\frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{16},\\

l_2-l_1=7 см.

\end{array}\right.

$$

$$

16l_1 = 9 \left( l_1+7 \right).

$$ Найдем Длины нитей: $$

\begin{cases}

l_1 = 9 см,\\

l_2 = 16 см.

\end{cases}

$$ Ответ: $l_1 = 9\,см$, $l_2 = 16\,см$.

Задача 9

Условие

На какой угол от вертикали надо отклонить математический маятник длиной $2$ м, чтобы груз прошел положение равновесия со скоростью $0,6 \frac{м}{c}$?

Решение

Формула для периода колебаний: $$

T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.

$$ Циклическая частота колебаний: $$

\omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{g}{l}}.

$$ Максимальная скорость (в положении равновесия): $$

v_m = \omega A,

$$ $$

v_m = \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot A,

$$ где $A$ – амплитуда колебаний (рис. [fig:6]).

6

Найдем тригонометрическую функцию угла: $$

\sin \varphi _m = \frac{A}{l}.

$$ Подставим и упростим выражение для максимальной скорости $$

v_m = \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot l\cdot \sin \varphi _m = \sqrt{g\cdot l} \cdot \sin \varphi _m.

$$ В приближении малых углов $\varphi _m \ll 1$, $\sin\varphi \approx \varphi _{рад}$: $$

v_m \approx \sqrt{g\cdot l} \cdot \varphi _m.

$$ Выразим угол: $$

\varphi _m = \frac{v_m}{\sqrt{gl}},

$$ $$

\varphi _m = \frac{0,6 \frac{м}{c}}{\sqrt{10 \frac{м}{c^2} \cdot 2 м}} = \sqrt{\frac{0,36}{20}} = \sqrt{0,018} \approx 0,134 \ рад.

$$ Переведем в градусы: $$

\varphi _m = 0,134 \cdot \frac{180^o}{3,14} \approx 7,69^o \approx 8^o.

$$ Ответ: $8^o$.