семинар 7, сложность 1

Теоретическая справка: Колебания математического маятника Рассмотрим тело массой $m$, подвешенное на лёгкой нерастяжимой нити длиной $l$ (рис. [fig:4] ). Если груз отклонить от положения равновесия и отпустить, равнодействующая этих сил не будет равна нулю. Она направлена к положению равновесия, сообщая грузу тангенциальное ускорение. В результате груз начинает двигаться по дуге окружности радиусом $l$ (рис. [fig:5] ). В каждый момент времени можно применить второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как размерами груза можно пренебречь по сравнению с длиной нити: $$ \vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}. $$ При движении от крайнего положения к положению равновесия скорость груза увеличивается. В положении равновесия скорость максимальна, возвращающая сила равна нулю. При движении от равновесия к крайней точке скорость уменьшается, тангенциальное ускорение направлено против скорости. Введем горизонтальную ось $x$ с началом в точке равновесия. Второй закон Ньютона: $$ mg + \vec{T} = m \cdot \vec{a}. $$ В проекции на ось $x$: $$ 0 - T \sin \varphi = m \cdot a_x. $$ Из геометрии задачи $\sin \varphi = \frac{x}{l}$. Упростим выражение: $$ - T \cdot \frac{x}{l} = a_x. $$ В приближении малых углов $\varphi _{pag} \ll 1 , T \approx mg$ уравнение приобретает вид $$ -mg\cdot \frac{x}{l} = m \cdot a_x, \quad -g \frac{x}{l} = a_x. $$ Приведем его к каноническому виду: $$ a_x + \frac{g}{l} x=0, \quad a_x + \omega ^2 \cdot x = 0. $$ Значит, циклическая частота колебаний: $$ \omega ^2 = \frac{g}{l} ; \ \ \ \ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}. $$ Выразим период колебаний через циклическую частоту: $$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. $$ Теоретическая справка: Период колебаний математического маятника Материальная точка массой $m$ подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длины $l$ (рис. [fig:13] ). В положении равновесия на тело действуют сила натяжения нити и сила тяжести. При отклонении маятника на угол $\varphi $ от положения равновесия возникает возвращающая сила (проекция силы тяжести на касательное направление). Применим второй закон Ньютона: $$ \vec{F}_\Sigma = m \cdot \vec{a}. $$ В проекции на тангенциальную ось: $$ \left( F_\Sigma \right)_\tau = m\cdot a_\tau. $$ Связь между линейной и угловой скоростями, тангенциальным и угловым ускорениями имеет вид: $$ \left. \begin{array}{lll} v = \omega \cdot l,\\ a_\tau = \beta \cdot l. \end{array}\right. $$ Равнодействующая сила: $$ \vec{F}_\Sigma = m \vec{g} + \vec{T}. $$ В проекции на тангенциальную ось: $$ \left( F_\Sigma \right)_\tau = -mg \cdot \sin\varphi + 0. $$ Окончательно получаем $$ -mg \cdot \sin\varphi = m\cdot \beta \cdot l. $$ Выразим угловое ускорение через угловую координату: $\beta = \ddot{\varphi }$. Будем считать, что угол $\varphi $ достаточно мал. Тогда $\sin \varphi \approx \varphi_{рад}$ и полученное уравнение упрощается: $$ -g \cdot\varphi = \ddot{\varphi }\cdot l, $$ $$ \ddot{\varphi }+ \frac{g}{l}\cdot \varphi = 0. $$ Полученное уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний: $$ a_x + \omega ^2 x= 0. $$ Поэтому циклическая частота $$ \omega ^2 = \frac{g}{l},\ \ \ \ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, $$ Период колебаний $$ T = \frac{2\pi}{\omega } = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. $$ Формула для периода колебаний имеет практическое значение. Измерив $l$ и $T$, можно вычислить ускорение свободного падения: $$ g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}. $$ Задача 8 Условие За одно и то же время один математический маятник делает $40$ колебаний, а второй – $30$. Какова длина каждого маятника, если разность их длин $7$ см? Решение Зная время и количество колебаний, можно найти период: $$ T = \frac{t}{N} $$ Время колебаний одинаково для обоих маятников, найдем отношение периодов: $$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1} $$ Период колебаний математического маятника: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}, $$ $$ \left\{ \begin{array}{lll} T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}},\\ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}. \end{array}\right. $$ Найдем отношение периодов: $$ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}. $$ Составим систему уравнений и решим ее: $$ \left\{ \begin{array}{lll} \frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{16},\\ l_2-l_1=7 см. \end{array}\right. $$ $$ 16l_1 = 9 \left( l_1+7 \right). $$ Найдем Длины нитей: $$ \begin{cases} l_1 = 9 см,\\ l_2 = 16 см. \end{cases} $$ Ответ: $l_1 = 9\,см$, $l_2 = 16\,см$. Задача 9 Условие На какой угол от вертикали надо отклонить математический маятник длиной $2$ м, чтобы груз прошел положение равновесия со скоростью $0,6 \frac{м}{c}$? Решение Формула для периода колебаний: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. $$ Циклическая частота колебаний: $$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{g}{l}}. $$ Максимальная скорость (в положении равновесия): $$ v_m = \omega A, $$ $$ v_m = \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot A, $$ где $A$ – амплитуда колебаний (рис. [fig:6] ). Найдем тригонометрическую функцию угла: $$ \sin \varphi _m = \frac{A}{l}. $$ Подставим и упростим выражение для максимальной скорости $$ v_m = \sqrt{\fra...