семинар 7, сложность 1

Задача 3 Условие Тележка массой $0,5$ кг, прикреплённая к горизонтальной пружине жёсткостью $200 \frac{H}{м}$, совершает свободные гармонические колебания (см. рис. [fig:1] ). Максимальная скорость тележки равна $3 \frac{м}{c}$. Какова амплитуда колебаний тележки? Массой колёс можно пренебречь. Решение Заметим, что для такого движения положение равновесия соответствует недеформированной пружине. Связь максимальной скорости и амплитуды колебаний: $$ v_m = \omega \cdot A, $$ где циклическая частота $$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200 \frac{H}{м}}{0,5 кг}} = 20 c^{-1}. $$ По условию задачи $v_m = 3 \frac{м}{c}$. Отсюда получаем $$ A = \frac{v_m}{\omega }= \frac{3 \frac{м}{c}}{20 c^{-1}} = 0,15 м. $$ Ответ: $15$ см. Задача 4 Условие Груз массой $0,16$ кг, подвешенный на лёгкой пружине, совершает вертикальные свободные гармонические колебания. Груз какой массы нужно подвесить к пружине вместо первого груза, чтобы период свободных колебаний уменьшился в $2$ раза? Решение Формула периода колебаний пружинного маятника: $$ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}. $$ Применим эту формулу для обоих тел: $$ \left\{ \begin{array}{lll} T_1 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}},\\ T_2 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}. \end{array}\right. $$ Найдем отношение периодов: $$ \dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{2\pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}}{2\pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}} = \sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}. $$ Подставим условие $T_2 = \dfrac{T_1}{2}$: $$ \sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}} = 2 \implies \dfrac{m_1}{m_2} = 4 \implies m_2 = \dfrac{m_1}{4}. $$ Искомая величина массы: $$ m_2 = \dfrac{0,16}{4} = 0,04 кг. $$ Ответ: $40г$. Задача 5 Условие Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью $400 \frac{H}{м}$, совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину какой жёсткости надо взять вместо первой пружины, чтобы период свободных колебаний этого груза стал в $2$ раза меньше? Решение Формула периода колебаний: $$ \left\{ \begin{array}{lll} T_1 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_1}},\\ T_2 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_2}}. \end{array}\right. $$ Найдем отношение периодов: $$ \dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_1}}}{2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_2}}} = \sqrt{\dfrac{k_2}{k_1}}. $$ Подставим условие $ T_2 = \dfrac{T_1}{2} $: $$ \sqrt{\dfrac{k_2}{k_1}} = 2 \implies \dfrac{k_2}{k_1} = 4 \implies k_2 = 4k_1. $$ Вычислим жёсткость пружины: $$ k_2 = 4 \cdot 400 \frac{H}{м} = 1600 \frac{H}{м}. $$ Ответ: $1600 \frac{H}{м}$ Задача 6 Условие Тело, прикреплённое к пружине, совершает колебания с некоторым периодом $T$. Если увеличить массу тела на $60$ г, то период колебаний удвоится. Какова первоначальная масса тела? Решение Формула периода колебаний пружинного маятника: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$ Для начальной массы и новой массы: $$ \left\{ \begin{array}{lll} T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}},\\ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{k}}. \end{array}\right. $$ Отношение периодов: $$ \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{m_1}}. $$ По условию задачи $\frac{T_2}{T_1}=2$: $$ 2 = \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{m_1}}, $$ Упростим выражение: $$ 4 = \frac{m_1 + \Delta m}{m_1}, $$ Решим уравнение: $$ \Delta m = 3m_1, $$ Вычислим массу $m_1$: $$ m_1 = \frac{\Delta m}{3} = \frac{60 г}{3} = 20\,г. $$ Ответ: $20\,г$. Задача 7 Условие За одно и то же время один пружинный маятник делает $10$ колебаний, а второй на пружине с той же жесткостью – $20$ колебаний. Определите массы этих маятников, если сумма их масс равна $3$ кг. Решение Период колебаний можно найти, зная время колебаний и количество колебаний $N$: $$ T = \frac{t}{N}. $$ Время колебаний одинаково в обоих случаях, поэтому $$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1}. $$ Для двух маятников: $$ \left\{ \begin{array}{lll} T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = \frac{t}{N_1},\\ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = \frac{t}{N_2}. \end{array}\right. $$ Найдем отношение периодов: $$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{2\pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}}{2\pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}, $$ Упростим выражение: $$ \frac{20}{10} = 2 = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} , $$ Решим уравнение: $$ \left\{ \begin{array}{lll} \frac{m_1}{m_2} = 4,\\ m_1+m_2 = 3 кг. \end{array}\right. $$ Вычислим массы грузов: $$ \left\{ \begin{array}{lll} m_1 = 3 кг \cdot \frac{4}{5},\\ \\ m_2 = 3 кг \cdot \frac{1}{5}, \end{array}\right. $$ $$ m_1 = 2,4\,кг, m_2 = 0,6 кг. $$ Ответ: $m_1 = 2,4\,кг$, $m_2 = 0,6\,кг$