семинар 7, сложность 1: Часть 2
Физика, 9 класс
Задача 3 Условие Тележка массой $0,5$ кг, прикреплённая к горизонтальной пружине жёсткостью $200 \frac{H}{м}$, совершает свободные гармонические колебания (см. рис. [fig:1]). Максимальная скорость тел...
Видео
Конспект
Задача 3
Условие
Тележка массой $0,5$ кг, прикреплённая к горизонтальной пружине жёсткостью $200 \frac{H}{м}$, совершает свободные гармонические колебания (см. рис. [fig:1]). Максимальная скорость тележки равна $3 \frac{м}{c}$. Какова амплитуда колебаний тележки? Массой колёс можно пренебречь.
1
Решение
Заметим, что для такого движения положение равновесия соответствует недеформированной пружине.
Связь максимальной скорости и амплитуды колебаний: $$
v_m = \omega \cdot A,
$$ где циклическая частота $$
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200 \frac{H}{м}}{0,5 кг}} = 20 c^{-1}.
$$ По условию задачи $v_m = 3 \frac{м}{c}$. Отсюда получаем $$
A = \frac{v_m}{\omega }= \frac{3 \frac{м}{c}}{20 c^{-1}} = 0,15 м.
$$ Ответ: $15$ см.
Задача 4
Условие
Груз массой $0,16$ кг, подвешенный на лёгкой пружине, совершает вертикальные свободные гармонические колебания. Груз какой массы нужно подвесить к пружине вместо первого груза, чтобы период свободных колебаний уменьшился в $2$ раза?
Решение
Формула периода колебаний пружинного маятника: $$
T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}.
$$ Применим эту формулу для обоих тел: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
T_1 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}},\\
T_2 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}.
\end{array}\right.
$$ Найдем отношение периодов: $$
\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{2\pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}}{2\pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}} = \sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}.
$$ Подставим условие $T_2 = \dfrac{T_1}{2}$: $$
\sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}} = 2 \implies \dfrac{m_1}{m_2} = 4 \implies m_2 = \dfrac{m_1}{4}.
$$ Искомая величина массы: $$
m_2 = \dfrac{0,16}{4} = 0,04 кг.
$$ Ответ: $40г$.
Задача 5
Условие
Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью $400 \frac{H}{м}$, совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину какой жёсткости надо взять вместо первой пружины, чтобы период свободных колебаний этого груза стал в $2$ раза меньше?
Решение
Формула периода колебаний: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
T_1 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_1}},\\
T_2 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_2}}.
\end{array}\right.
$$ Найдем отношение периодов: $$
\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_1}}}{2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_2}}} = \sqrt{\dfrac{k_2}{k_1}}.
$$ Подставим условие $ T_2 = \dfrac{T_1}{2} $: $$
\sqrt{\dfrac{k_2}{k_1}} = 2 \implies \dfrac{k_2}{k_1} = 4 \implies k_2 = 4k_1.
$$ Вычислим жёсткость пружины: $$
k_2 = 4 \cdot 400 \frac{H}{м} = 1600 \frac{H}{м}.
$$ Ответ: $1600 \frac{H}{м}$
Задача 6
Условие
Тело, прикреплённое к пружине, совершает колебания с некоторым периодом $T$. Если увеличить массу тела на $60$ г, то период колебаний удвоится. Какова первоначальная масса тела?
Решение
Формула периода колебаний пружинного маятника: $$
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
$$ Для начальной массы и новой массы: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}},\\
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{k}}.
\end{array}\right.
$$ Отношение периодов: $$
\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{m_1}}.
$$ По условию задачи $\frac{T_2}{T_1}=2$: $$
2 = \sqrt{\frac{m_1 + \Delta m}{m_1}},
$$ Упростим выражение: $$
4 = \frac{m_1 + \Delta m}{m_1},
$$ Решим уравнение: $$
\Delta m = 3m_1,
$$ Вычислим массу $m_1$: $$
m_1 = \frac{\Delta m}{3} = \frac{60 г}{3} = 20\,г.
$$ Ответ: $20\,г$.
Задача 7
Условие
За одно и то же время один пружинный маятник делает $10$ колебаний, а второй на пружине с той же жесткостью – $20$ колебаний. Определите массы этих маятников, если сумма их масс равна $3$ кг.
Решение
Период колебаний можно найти, зная время колебаний и количество колебаний $N$: $$
T = \frac{t}{N}.
$$ Время колебаний одинаково в обоих случаях, поэтому $$
\frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1}.
$$ Для двух маятников: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = \frac{t}{N_1},\\
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = \frac{t}{N_2}.
\end{array}\right.
$$ Найдем отношение периодов: $$
\frac{N_2}{N_1} = \frac{2\pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}}{2\pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}},
$$ Упростим выражение: $$
\frac{20}{10} = 2 = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} ,
$$ Решим уравнение: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
\frac{m_1}{m_2} = 4,\\
m_1+m_2 = 3 кг.
\end{array}\right.
$$ Вычислим массы грузов: $$
\left\{
\begin{array}{lll}
m_1 = 3 кг \cdot \frac{4}{5},\\ \\
m_2 = 3 кг \cdot \frac{1}{5},
\end{array}\right.
$$ $$
m_1 = 2,4\,кг, m_2 = 0,6 кг.
$$ Ответ: $m_1 = 2,4\,кг$, $m_2 = 0,6\,кг$