Связь кинематики и динамики.: Семинар 1

Задача 1.

Условие

Под действием силы 150\ H тело движется прямолинейно так, что его координата изменяется по закону x = 100+5t +0,5 t^2 . Какова масса тела?

Решение.

Закон движения при равноускоренном движении имеет вид

x = x_0+v_{0x}\cdot t + \frac{a_xt^2}{2}.

Сравним это уравнение с уравнением из условия задачи: начальная координата

x_0 = 100\ \text{м} , проекция начальной скорости на ось x : v_{0x} = 5 \frac{\text{м}}{c} и проекция ускорения:

a_x = 1 \frac{\text{м}}{c^2} .

Изобразим векторы начальной скорости, ускорения и силы, действующей на тело, с учетом проекции этих векторов на координатную ось x .

image.png Тело движется под действием постоянной силы F . Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила и ускорение сонаправлены друг другу:

\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}.

Модуль равнодействующей силы

\left| \vec{F}_\Sigma \right| = m\cdot \left| \vec{a} \right|.

Модуль ускорения мы получили ранее, поэтому

m = \frac{F}{a} = \frac{150\ H}{1 \frac{\text{м}}{c^2}} = 150\ \text{кг}.

Ответ: 150 кг.

Задача 2.

Условие

Найти модуль, направление и проекцию F_x силы, действующей на тело массой 500 кг, если тело движется прямолинейно и его координата изменяется по закону x=20-10t-t^2 .

Решение.

Сравним уравнение x(t) движения из условия задачи с кинематическим уравнением в общем виде и получим начальные условия движения: x_0 = 20\ \text{м} , v_{0x} = -10 \frac{\text{м}}{c} , a_x = -2 \frac{\text{м}}{c^2} .

Значит, тело начало движение из точки с координатой x_0 и двигалось против оси x с возрастающей по модулю скоростью (разгон). По второму закону Ньютона, ускорениие тела сонаправлено с равнодействующей силой, так что сила, действующая на тело, также направлена против оси x .

image.png Итак, теперь нам известно направление силы. Осталось найти ее модуль:

\left| \vec{F}_\Sigma \right| = m\cdot \left| \vec{a} \right|,

F = 500 \text{кг} \cdot 2 \frac{\text{м}}{c^2} = 1000\ H= 1kH.

Проекция силы на ось x :

F_x = m\cdot a_x = 500\ \text{кг} \cdot \left( -2 \frac{\text{м}}{c^2} \right) = -1000\ H.

Ответ: 1kH ; \vec{F} противонаправлена оси x .

Задача 3.

Условие

Скорость материальной точки массой m = 500\ г изменяется по закону v_x=5-3t . Чему равна сила, действующая на материальную точку?

Решение.

Кинематическое уравнение v_x для проекции скорости имеет вид:

v_x = v_{0x}+a_x\cdot t.

Сравним данное в условии уравнение с уравнением в общем виде:

v_{0x} = 5 \frac{\text{м}}{c} ,

a_x = -3 \frac{\text{м}}{c^2} .

Начальное положение точки неизвестно, но известно, что начальная скорость направлена вдоль оси x (проекция начальной скорости положительна), а вектор ускорения направлен против оси x (проекция ускорения отрицательна). Векторы скорости и ускорения противоположны, значит, модуль скорости уменьшается (торможение). Сила сонаправлена с ускорением.

image.png \vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a},

Вычислим модуль силы:

F = m\cdot a = 0,5\ \text{кг} \cdot 3 \frac{\text{м}}{c^2} = 1,5H.

Ответ: 1,5H ; направление \vec{F} противоположно оси x .

Задача 4.

Условие

Скорость автомобиля под действием постоянной равнодействующей силы F = 750\ Н , действующей на автомобиль, изменяется по закону v_x = 10+0,5t . Какова масса автомобиля?

Решение.

Сравним данное кинематическое уравнение с уравнением для проекции скорости при равноускоренном движении в общем виде, получим:

v_{0x} = 10 \frac{\text{м}}{c} ,

a_x = 0,5 \frac{\text{м}}{c^2} .

Начальное положение точки неизвестно, но известно, что векторы начальной скорости и ускорения сонаправлены с осью x (их проекции на ось положительные). Значит, сила тоже направлена вдоль оси x . Вектор начальной скорости сонаправлен с ускорением, поэтому модуль скорости автомобиля увеличивается (разгон).

image.png Из второго закона Ньютона

\left| \vec{F}_\Sigma \right| = m\cdot \left| \vec{a} \right|,

m = \frac{F}{a} = \frac{750H}{0,5 \frac{\text{м}}{c^2}} = 1500\ кг = 1,5т.

Ответ: 1,5 т.

Задача 5.

Условие

На графике приведена зависимость ускорения a бруска, скользящего без трения по горизонтальной поверхности, от величины приложенной к нему горизонтальной силы F . Систему отсчета считать инерциальной. Чему равна масса бруска?

image.png Решение.

Поскольку трение отсутствует и движение горизонтально, приложенная сила F является равнодействующей силой.

image.png Второй закон Ньютона:

\vec{F} = m\cdot \vec{a}.

График a(F) -- прямая, проходящая через (0,0) . Это означает прямую пропорциональность a и F . Масса m -- Коэффициент пропорциональности между a и F . Она обратна угловому коэффициенту (коэффициенту наклона) графика.

Выберем любую точку на графике, например F=6H и a = 0,3 \frac{\text{м}}{c^2} и найдем массу:

m = \frac{F}{a} = \frac{6H}{0,3 \frac{\text{м}}{c^2}} = 20\ \text{кг}.

Ответ: 20 кг.

Задача 6.

Условие

Мальчик поднимает вверх гирю массой 10 кг, действуя на неё постоянной силой 120 Н, направленной вертикально вверх. Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения.

1.Равнодействующая сил, действующих на гирю, равна 20 Н и направлена вертикально вверх.

2.Сила, с которой гиря действует на мальчика, равна 100 Н и направлена вертикально вниз.

3.Гиря действует на руку мальчика с силой 120 Н, направленной вертикально вниз.

4.Если мальчик приложит к гире силу 102 Н, направленную вертикально вверх, он не сможет её поднять.

5.Ускорение гири равно 8 \frac{\text{м}}{c^2} .

Решение.

На гирю действует сила тяжести и сила, прикладываемая мальчиком.

image.png Так как силы направлены вдоль одной вертикальной прямой в противоположные стороны и

F_T = mg = 10 \ \text{кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{c^2} = 100\ H < F,

равнодействующая направлена в сторону бoльшей силы, то есть вверх.

Применим второй закон Ньютона:

\vec{F}_\Sigma = \vec{F}_T+\vec{F} = m\cdot \vec{a}.

Проекция на ось y :

F-F_T = m\cdot a_y.

Отсюда получаем

a_y = \frac{F-F_T}{m} = \frac{120H-100H}{10 \text{кг}} = 2 \frac{\text{м}}{c^2} >0.

Таким образом, вектор ускорения тоже направлен вверх. Равнодействующая сила направлена вверх, а ее модуль равен

F_\Sigma = 20\ H .

По третьему закону Ньютона, сила, с которой гиря действует на руку мальчика (вес гири P ), равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой рука мальчика действует на гирю:

\vec{P} = -\vec{F}.

Таким образом, P = 120H .

Чтобы ответить на последний вопрос задачи, сравним прикладываемую силу F=102H и силу тяжести:

F>F_T . Отсюда следует, что проекция равнодействующей силы положительна, значит, гиря будет подниматься вверх. Соответственно, мальчик сможет поднять гирю, но с мeньшим ускорением.

Ответ: верные утверждения 1 и 3.

Задача 7.

Условие

Скорость автомобиля массой 1500 кг, движущегося вдоль оси Ox , изменяется со временем в соответствии с графиком. Систему отсчёта считать инерциальной. Определите равнодействующую всех сил, действующих на автомобиль.

image.png Решение.

Чтобы найти равнодействующую силу, надо знать ускорение:

\vec{F}_\Sigma = m\cdot \vec{a}.

Проекцию равнодействующей силы связана с проекцией ускорения на ту же ось уравнением:

F_{\Sigma x}= m\cdot a_x.

График v(t) -- прямая линия. Движение прямолинейное. Значит, тело движется с постоянным ускорением. Ускорение показывает быстроту изменения скорости:

a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{10 \frac{\text{м}}{c} - 0 \frac{\text{м}}{c}}{20c-0c} = 0,5 \frac{\text{м}}{c^2}.

Отсюда найдем проекцию равнодействующей силы:

F_{\Sigma x} = 1500\ \text{кг} \cdot 0,5 \frac{\text{м}}{c^2} = 750\ H.

Направление силы совпадает с направлением движения и направлена вдоль оси x .

Ответ: 750H ; сонаправлена с осью x

Задача 8.

Условие

В инерциальной системе отсчёта некоторая сила сообщает телу массой 8 кг ускорение 5 \frac{\text{м}}{c^2} . Какое ускорение в той же системе отсчёта сообщит та же сила телу массой 5 кг?

Решение.

Применим второй закон Ньютона для каждого из тел:

F_1=m_1\cdot a_1,

F_2 = m_2\cdot a_2.

По условию задачи силы одинаковы:

F_1=F_2.

Значит,

m_1\cdot a_1 = m_2\cdot a_2.

Отсюда получаем

a_2 = \frac{m_1\cdot a_1}{m_2} = \frac{8 \text{кг}\cdot 5 \frac{\text{м}}{c^2}}{5 \text{кг}} = 8 \frac{\text{м}}{c^2}.

Ответ: 8 \frac{\text{м}}{c^2} .