Связь кинематики и динамики.: Часть 3

Задача 11.

Условие

Два бруска массами m_1 и m_2 соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Найдите ускорение, с которым движутся бруски и силу натяжения нити.

image.png Решение.

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. К каждому бруску применим второй закон Ньютона, сформулированный для материальных точек, так как бруски движутся поступательно:

\vec{F}_{\Sigma }=m \cdot \vec{a}.

Рассмотрим силы, действующие на каждый из брусков . Первый брусок взаимодействует с землей (на него действует сила тяжести) и с нитью (на него действует сила натяжения нити). Второй брусок взаимодействует с землей (на него действует сила тяжести), столом (на него действует сила реакции опоры) и нитью (на него действует сила натяжения нити).

image.png Нить невесомая, поэтому сила натяжения нити одинакова вдоль всей нити: \left| \vec{T}_1 \right| = \left| \vec{T}_2 \right| = T .

Так как нить нерастяжима: \left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| = a .

Второй закон Ньютона для 1 и 2 тела:

\vec{T}_1+m_1 \vec{g} = m_1 \vec{a_1}.

\vec{T}_2+m_2 \vec{g} + \vec{N} = m_2 \vec{a}_2.

на ось x:

0+0 = m_1\cdot 0; 0= 0

0 + T_2 + 0= m_2\cdot a_2;

на ось y:

-m_1g+T_1 = m_1\cdot (-a_1);

-m_2g + 0 + N= m_2\cdot 0; N=m_2g

Получим систему уравнений:

\begin{cases}

&T = m_2a, \\

&-m_1g+T = -m_1a.

\end{cases}

Решая систему, получаем следующий ответ:

a = \frac{m_1g}{m_1+m_2}.

T = \frac{m_1m_2g}{m_1+m_2}.

Задача 12.

Условие

Два бруска, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F_1 и F_2 , составляющие с горизонтом углы \alpha и \beta . Найти ускорение системы и силу натяжения нити.

image.png Решение.

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной со столом. Для нахождения ускорения воспользуемся вторым законом Ньютона, сформулированным для материальных точек, так как бруски движутся поступательно:

\vec{a} = \frac{\vec{F}_{\Sigma }}{m}.

Расставим силы, действующие на каждый из брусков.

image.png Нить невесома, сила натяжения нити одинакова вдоль всей длины:

\left| \vec{T}_1 \right| = \left| \vec{T}_2 \right| = T.

Применим второй закон Ньютона для первого тела

\vec{F}_1 + \vec{T}_1 + m_1 \vec{g}+\vec{N}_1 = m_1 \vec{a}_1

и для второго тела:

\vec{F}_2 + \vec{T}_2 + m_2 \vec{g} + \vec{N}_2 = m_2 \vec{a}_2.

Так как нить нерастяжима, ускорения первого и второго тел равны друг другу по модулю:

\left| \vec{a}_1 \right| = \left| \vec{a}_2 \right| = a.

Мы не можем сразу сказать, куда направлено ускорение, так как сначала надо определить, куда направлена равнодействующая сил. Поэтому на чертеже для определённости укажем, что ускорение направлено вправо, а при проецировании вектора ускорения на ось x будем писать a_x .

Спроецируем векторы на ось x :

-F_1 \cos\alpha +T+0+0=m_1 \cdot a_x.

F_2 \cos\beta - T+0+0=m_2\cdot a_x.

Сложив полученные выражения и найдем выражение для проекции ускорения:

-F_1 \cos \alpha +F_2 \cos\beta = \left( m_1+m_2 \right) a_x,

a_x = \frac{F_2\cos \beta - F_1 \cos\alpha }{m_1+m_2}.

Проанализируем полученное выражение:

1.

\text{если} \ \ F_2\cos \beta > F_1\cos\alpha , \ \text{то}\ \ a_x > 0.

В этом случае ускорение сонаправлено с осью x , бруски движутся с одинаковыми ускорениями, модуль которого равен

\left| \vec{a} \right| = \frac{F_2 \cos\beta - F_1 \cos\alpha }{m_1+m_2}.

2.

\text{если}\ F_2\cos \beta < F_1\cos\alpha ,\ \text{то}\ \ a_x < 0.

В этом случае движение происходит влево с ускорением

\left| \vec{a} \right| = \frac{F_1 \cos\alpha - F_2 \cos\beta }{m_1+m_2}.

3.

\text{если}\ F_2\cos \beta = F_1\cos\alpha ,\text{то}\ \ a_x = 0.

В этом случае бруски либо покоятся, либо движутся равномерно прямолинейно с постоянной скоростью.

Воспользуемся одним из полученных ранее уравнений и получим выражение для силы натяжения нити:

T = F_1\cos\alpha +m_1a_x = F_1 \cos\alpha + \frac{m_1F_2\cos\beta - m_1F_1\cos\alpha }{m_1+m_2} = \frac{m_2F_1\cos\alpha +m_1 F_2\cos\beta }{m_1+m_2}.

Из вида полученного выражения можно сделать вывод, что сила натяжения нити не зависит от того, в каком направлении движутся бруски.

Ответ: a_x = \frac{F_2\cos\beta - F_2\cos \alpha }{m_1+m_2} , T = \frac{m_2F_1\cos\alpha + m_1F_2\cos\beta }{m_1+m_2}.