семинар 5, сложность 1: Часть 1

Видео

Конспект

Теоретическая справка: Гидростатическое давление и сообщающиеся сосуды

Гидростатическое давление

Выделим вертикальный столб жидкости высотой h , основанием которого служит площадка площадью S (рис. [fig:20]). Объем выделенного столба жидкости равен S \cdot h . Сила, с которой столб жидкости действует на площадку (основание столба), равна весу столба жидкости: F = P . Так как жидкость неподвижна, то вес столба жидкости равен действующей на него силе тяжести, следовательно: P = mg = \rho Shg, где \rho — плотность жидкости.

20 Давление, производимое столбом жидкости, равно: p = \frac{F}{S} = \frac{\rho Shg}{S} = \rho gh. Итак, p = \rho gh.

Давление в жидкости прямо пропорционально высоте столба жидкости. Давление, которое создает жидкость, находящаяся в равновесии при действии силы тяжести, называют гидростатическим.

Закон Паскаля: давление, производимое на поверхность жидкости/газа, передается во все точки без изменения.

Поэтому давление внутри жидкости на глубине h слагается из атмосферного давления p_0 (или внешнего давления) на жидкость и гидростатического давления \rho gh : p = p_0 + \rho gh.

Сообщающиеся сосуды

На рис. [fig:21] изображены соединенные между собой сосуды (сосуды с общим дном), называемые сообщающимися.

21 Лейка, чайник, кофейник (рис. [fig:22]) — примеры сообщающихся сосудов.

22 Однородная жидкость в сообщающихся сосудах устанавливается на одном уровне. Это легко объяснить, пользуясь формулой p=\rho gh . В покоящейся однородной жидкости давление на любом уровне в обоих сообщающихся сосудах одинаково. Поэтому одинаковы и высоты столбов однородной жидкости над этими уровнями (рис. [fig:21]).

23 Если же в сообщающихся сосудах находятся разнородные жидкости, то при равновесии уровни этих жидкостей не будут одинаковыми (рис. [fig:23]). Давление жидкостей на уровне aa_1 при равновесии одинаково: \rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2, где \rho_1 и \rho_2 — плотности жидкостей в сообщающихся сосудах. Отсюда \frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}. В сообщающихся сосудах высоты столбов жидкости над уровнем раздела жидкостей обратно пропорциональны плотности этих жидкостей.

Закон Архимеда

На поверхность твердого тела, погруженного в жидкость (или газ), действуют силы давления, увеличивающиеся с глубиной. В результате на нижнюю часть тела действует бо́льшая сила, чем на верхнюю.

29 Сила Архимеда – это выталкивающая сила, действующая на тело, погружённое в жидкость или газ.

Причина возникновения выталкивающей силы — разность гидростатического давления в жидкости.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости и направлена противоположно ему: F_A = \rho_{ж} g V_{погр}.

Закон применим и для газов.

Уточнение. Строго говоря, вес вытесненной жидкости следует брать в вакууме, так как вес жидкости в воздухе меньше на величину веса вытесненного воздуха. Однако этой разницей обычно пренебрегают.

При частичном погружении выталкивающая сила равна сумме весов вытесненных жидкости и воздуха (оба веса берутся в вакууме).

Условия плавания тел

Пример: железная лодка плавает на поверхности воды, но тонет при полном погружении. Это демонстрирует, что поведение тела зависит от условий погружения. Тело плавает в жидкости, то есть находится в покое, частично погрузившись в жидкость.

На плавающее тело действуют:

сила тяжести F_T = mg (вниз),

сила Архимеда F_A (вверх).

Поскольку сила тяжести равна весу тела (в вакууме), а сила Архимеда – весу (в вакууме) вытесненной жидкости, то можно сказать, что вес тела равен весу вытесненной жидкости. При более строгом рассмотрении вопроса с учетом веса вытесненного воздуха можно показать, что вес тела в воздухе равен весу (тоже в воздухе) вытесненной жидкости.

Итак, если тело плавает в жидкости, то вес тела в воздухе равен весу в воздухе вытесненной им жидкости: F_T = F_A. При решении задач обычно пренебрегают различием между весом в воздухе и вакууме.

Поведение полностью погруженного тела

Пусть тело полностью погружено в жидкость и отпущено.

Если F_T > F_A — тело тонет;

Если F_T < F_A — тело всплывает;

Если F_T = F_A — тело находится в равновесии в любой точке жидкости.

После всплытия тело устанавливается в положение частичного погружения, где F_A = F_T .

Итак, тело будет плавать, если \rho Vg<\rho _{ж}Vg, то есть

\rho_{т} < \rho_{ж} — тело всплывает и плавает;

\rho_{т} = \rho_{ж} — нейтральное плавание (тело в равновесии внутри жидкости);

\rho_{т} > \rho_{ж} — тело тонет.

Мы получили условие плавания тела: тело, предварительно полностью погруженное в жидкость, плавает в жидкости, если плотность тела меньше плотности жидкости.

Полученные условия справедливы и для неоднородных тел. В таком случае под плотностью тела надо понимать его среднюю плотность \rho_{ср} = m/V .

Закон Архимеда и его обобщения

Проведем эксперимент. Соберем установку: подвесим пустое ведёрко и сплошной цилиндр к динамометру.

7 Вес ведерка и цилиндра равен P_0 . Полностью погрузим цилиндр в воду; вытесненную воду соберем в стакан. Показания динамометра уменьшатся до P_1 . Перельем воду в ведёрко. Показания динамометра (вес конструкции) вернутся к первоначальному P_0 .

Сделаем вывод: на цилиндр, помещенный в воду, действует сила, направленная против силы тяжести, из-за чего вес погруженного тела оказывается меньше силы тяжести. Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: F_A = P_{ж} = P_0-P_1.

Гидростатическое доказательство для цилиндра

Рассмотрим помещенный в воду цилиндр.

8 На верхнюю грань цилиндра действует сила давления со стороны вышележащего слоя жидкости. Тощина этого слоя – h_1 . Гидростатическое давление вычисляется по формуле p_1=\rho gh_1. Итак, сила давления на верхнюю грань F_1 = p_1S = \rho gh_1 S. Аналогично, давление на уровне нижней грани цилиндра равно p_2 = \rho gh_2. Значит, сила давления на нижнюю грань F_2 = p_2S = \rho gh_2S. Равнодействующая этих сил равна выталкивающей силе, действующей со стороны жидкости на цилиндр: F_{арх} = F_2-F_1=\rho gS\left( h_2-h_1 \right) = \rho gSH = \rho_{ж} gV_{п.ч.} Здесь H – высота цилиндра, V_{п.ч.} – объем погруженной части тела.

Таким образом, F_{арх} = \rho _{ж} gV_{п.ч.}.

Доказательство для тел произвольной формы

Проведем мысленный эксперимент. Поместим тело в невесомую жесткую оболочку, повторяющую его форму. Удалим тело из оболочки. В результате внутри жидкости останется только пустотелая оболочка, повторяющая форму тела. Такое тело всплывает. Заполним полость той же жидкостью. Такое тело будет находится в равновесии (плавать в толще жидкости).

Рассмотрим силы, действующие на выделенный объем.

9 Силу Архимеда будем интерпретировать как силу жидкой реакции опоры. Тогда условие равновесия жидкости в полости: N \equiv F_{арх} = F_T, где F_T = m_{ж} \cdot g, m_{ж} = \rho _{ж} \cdot V_{п.ч.}. Отсюда получаем F_{арх} = \rho _{ж} \cdot g\cdot V_{п.ч.}.

Обобщение для движущихся сосудов

Рассмотрим тело, помешенное в сосуд, движущийся с некоторым ускорением \vec{a} . Аналогично предыдущему случаю, выделим внутри жидкости объем, совпадающий с формой тела и заполним его той же жидкостью.

10 Обратим внимание, что относительно движущегося сосуда выделенный объем жидкости покоится: \vec{F}_T+\vec{F}_{арх} = m_{ж} \vec{a}. Проекция на ось x : 0+\left( F_{арх} \right)_x = m_{ж} \cdot a, проекция на ось y : -m_{ж}g + \left( F_{арх} \right)_y = 0. Отсюда получаем выражения для проекций силы Архимеда: \left( F_{арх} \right)_x = \rho _{ж} \cdot V_{п.ч.}\cdot a, \left( F_{арх} \right)_y = \rho _{ж} \cdot V_{п.ч.}\cdot g. Найдем модуль силы Архимеда: P = \sqrt{F_{ax}^2+F_{ay}^2} = \rho _{ж}V_{п.} \sqrt{a^2+g^2}. Угол наклона силы Архимеда к горизонту получаем из геометрии задачи: \tg \alpha = \frac{F_{a.x}}{F_{a.y}} = \frac{a}{g}. Отметим, что такое же выражение мы получили при использовании "эффективного ускорения": \vec{g}^* = \vec{g}+\left( -\vec{a} \right). Таким образом, сила Архимеда всегда равна весу вытесненной жидкости (для любой формы тела, для покоящейся или движущейся жидкости): F_{арх} = P_{выт.ж}.

Задача 1

Условие

Два одинаковых бруска толщиной 5 см и массой 1 кг каждый, связанны друг с другом и плавают в воде так, что уровень воды приходится на границу между ними (см. рисунок). Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения.

11 Плотность материала, из которого изготовлены бруски, равна 500 кг/м^3 .

Если на верхний брусок положить груз массой 0.7 кг, то бруски утонут.

Если воду заменить на керосин, то глубина погружения брусков уменьшится.

Сила Архимеда, действующая на бруски, равна 20 Н.

Если в стопку добавить ещё два таких же бруска, то глубина её погружения увеличится на 10 см.

Решение

Расставим силы, действующие на бруски. Условие плавания: F_T = F_{арх}. Силы Архимеда: F_{арх} = \rho_{ж}gV_{п.ч.}.

12 С учетом величины силы тяжести: 2mg = \rho _{ж} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho }. Отсюда получаем уравнение, из которого найдем плотность бруска: 2 = \frac{\rho_{ж}}{\rho }, \rho = \frac{\rho _{ж}}{2} = 500 \frac{кг}{м^3}. Положим на верхний брусок груз массой 0,7 кг. Чтобы тело плавало, глубина погружения не должна превышать 2h . Другими словами, объем погруженной части не должен превышать объема двух брусков.

13 Значит, максимально возможная сила Архимеда должна компенсировать силу тяжести: \rho _{ж} \cdot g\cdot \frac{2m}{\rho } = 2mg + Mg. Итак, нам нужно проверить, выполняется ли указанное равенство. Условие плавания выполняется, если равенство верно или если имеет место неравенство "больше" . Таким образом, нам нужно сравнить 4m\ ? \ 2m+M, 4 кг\ ?\ 2,7 кг. Отсюда следует, что при полном погружении будет вытеснено 4 кг жидкости. Значит, описанная конструкция будет плавать.

Заменим воду на керосин. Условие плавания: 2mg = \rho_2 \cdot g\cdot V_{п.ч.2}. Выразим объем погруженной части и сравним его с объемом, полученным для первого случая: V_{п.ч.2} = \frac{2m}{\rho_2} > \frac{2m}{\rho_1} = V_{п.ч.1}. Таким образом, глубина погружения увеличится.

Добавим еще два бруска. Суммарная масса конструкции – 4 кг.

14 Условие плавания: 4mg = \rho_1\cdot g\cdot V_{п.ч.3}. Объем погруженной части: V_{п.ч.3} = \frac{4m}{\rho_1} = 2\cdot V_{п.ч.1} и глубина погружения: h_3 = 2\cdot 5 см = 10см. Ответ: верные утверждения 1, 4, 5.