Мартемьянова_Лекция_2

Сила тяжести. Основные свойства и определение Одним из проявлений закона всемирного тяготения является сила тяжести. Еще Галилео Галилей установил, что все тела падают на Землю одинаково быстро . Это означает, что сила, с которой Земля притягивает к себе тела вблизи поверхности, пропорциональна массе этих тел. Сила тяжести – это сила, с которой Земля (в широком смысле слова - любое массивное тело, например, Луна) притягивает к себе любое тело, обладающее массой. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. Вблизи поверхности Земли сила тяжести напрвлена перпендикулярно поверхности вертикально вниз . Отметим, что направление не зависит от того, как расположено тело (опирается на горизонтальную опору, находится на наклонной плоскости, в жидкости, в воздухе, подвешено на нити или свободно падает и т.д.) (рис. [fig:9] - [fig:10] ). Из опыта известно, что на тело массой $102$г действует сила тяжести, равная $1H$. Значит, на тело массой $1$кг действует сила тяжести, равная $9,8H$. Значит, коэффициент пропорциональности между силой тяжести и массой тела $$ F_T = mg $$ равен $g=9,8 \frac{H}{кг} = 9,8 \frac{м}{c^2}$ (вблизи поверхности Земли). Коэффициент пропорциональности $g$ называется ускорением свободного падения. Так как сила и ускорение сонаправлены, приведенное уравнение верно также и в векторном виде: $$ \vec{F}_T = m \vec{g}. $$ Связь с законом всемирного тяготения Сила тяжести является частным случаем закона всемирного тяготения: $$ F_{гр} = G \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}. $$ На любое тело вблизи поверхности Земли будет действовать гравитационная сила, сообщающая телу некоторое ускорение. Найдем его. Сила, с которой Земля притягивает к себе тело массой $m$, равна $$ F_T = G \frac{mM_з}{R_з^2}. $$ Сравним формулу для силы тяжести $$ F_T = mg $$ с формулой, полученной из закона всемирного тяготения. Получим выражение для ускорения свободного падения через гравитационную постоянную, массу и радиус Земли: $$ g_0 = \frac{GM_{з}}{R_{з}^2}, $$ $$ g_0 = \frac{6,67\cdot 10^{-11} \frac{H\cdot м^2}{кг^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} кг}{\left( 6,4\cdot 10^6 м \right)^2} \approx 9,8 \frac{м}{c^2}. $$ Зависимость ускорения свободного падения от положения тела Выясним, как изменяется ускорение свободного падения при удалении тела от центра Земли. Пусть тело находится на высоте $h$ от поверхности Земли (рис. [fig:11] ). Тогда расстояние от тела до центра Земли равно $r=R_{з}+h$. Значит, с увеличением высоты $h$ ускорение свободного падения $g$ уменьшается по квадратичному закону: $$ g = \frac{GM_{з}}{\left( R_{з} + h \right)^2} $$ На поверхности Земли $h=h_0$ получим $g=g_0$. Если тело находится на глубине $d$ (рис. [fig:12] ), то гравитационная сила уменьшается. Действительно, гравитационное поле внутри однородного шара создается только той массой, которая находится от центра шара не дальше, чем тело. Можно доказать, что наружный шаровой слой не дает вклада в силу гравитационного притяжения (массы участков обратно пропорциональны квадрату расстояния до данной точки). Таким образом, сила притяжения действует только со стороны той части Земли, которая находится ближе к центру. Отсюда следует $$ g = \frac{GM_{з} \left( \frac{r}{R_{з}} \right)^3}{r^2} = \underbrace{\frac{GM_{з}}{R_{з}^2}}_{g_0} \cdot \frac{r}{R_{з}} = g_0\cdot \frac{r}{R_{з}}. $$ Внутри однородного шара ускорение свободного падения прямо пропорционально расстоянию до центра шара. Очевидно, в центре Земли сила притяжения равна нулю. Если бы это было не так, то было бы неясно, куда она направлена (ведь ни одному из направлений нельзя отдать предпочтение). Эскиз графика зависимости $g(r)$ имеет вид, представленный на рис. [fig:13] . Если учитывать, что Земля не является шаром, а слегка сплюснута у полюсов, то можно показать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты.